Estudo completo de uma função quadrática

O que é estudo completo de uma função ?

Fazer o estudo complete de uma função significa indicar;

1.O domínio função

2.O contra domínio função

3.Os zeros da função

4. A ordenada na origem

5.As coordenadas dos vértices

6.O eixo de simetria

7.A variação do sinal

8.Estudar a monotonia

9.Indicar a expressão analítica

1.Domino de uma função do segundo grão

O domínio de uma função do segundo grão é sempre x ∈ IR

2.O contra domínio função

O contra domínio de uma função são todos os valores de y , que a função assume. O contra domínio de uma função do segundo grão é:

*y ∈ [y_v ,+∞[  se o valor de “a” positivo;

*y ∈ ] -∞, y_v]  se o valor de “a” negativo.

3.OS Zeros da função

Os zeros da função são os valores de x na qual a função intercepta o eixo das abcissas, onde para uma função quadrática são; x=x₁ e x=x₂

4. A ordenada na origem

A ordenada na origem é o valor de y para x=0 ou seja é o valor de y onde a função intercepta o eixo das ordenadas. Para uma função quadrática a ordenada na origem corresponde ao valor do parâmetro “c” (y=c).

5.As coordenadas dos vértices

As coordenadas dos vértices são o xv e o yv. (xv,yv)

6.O eixo de simetria

O eixo de simetria é onde a função se divide em duas partes iguais para uma função do segundo grão é x=xv ( a função quadrática sempre se tive em duas partes iguais no xv)

7.A variação do sinal

Estudar a variação de sinal significa indicar onde a função é positiva e onde a função é negativa.

8.Estudar a monotonia

Fazer o estudo da monotonia de uma função é indicar o intervalo onde a função é crescente e onde a função é decrescente.

a>0	] – ∞ ,xv[ é decrescente	] xv , +∞[ é crescente
a<0	] – ∞ ,xv[ é crescente	] xv , +∞[ é decrescente

9.Indicar a expressão analítica

A principio expressão analítica é uma equação matemática y=f(x) capaz de descrever o gráfico. a expressão analítica de uma função quadrática é f(x)=ax²+bx+c.

Expressão analítica de uma função quadrática

As formulas para encontrar a expressão a analítica de uma função do segundo grão são as seguintes:

y=a(x-x₁)(x-x₂) ou

y=a(x-x_v)²+y_v

*A primeira formula só podemos usar quando a função tiver o zeros da função (x₁ e x₂) e este estiverem explícitos no gráfico, note que nem toda função quadrática tem zeros.

*A segunda formula usamos quando os vértices estão explícitos no gráfico como todos gráficos das função quadráticas tem vértices essa forma não tem muita limitação na sua aplicação.

Como achar expressão analítica de uma função quadrática?

Para encontrar a expressão analítica de uma função quadrática basta usar uma das formulas y=a(x-x₁)(x-x₂) ou y=a(x-x_v)²+y_v

Passos para achar a expressão analítica de uma função do segundo grão usado os zeros da função

1.Conhecer a formula y=a(x-x₁)(x-x₂)

2. A partir do gráfico indicar x₁ e x₂ e escolher um ponto no gráficos com valores de (x ,y)

3. Substituir os valores de y, x, x₁ e x₂ na equação e achar o valor de “a”

4. Depois de encontrar o valor de “a”, substituir na equação y=a(x-x₁)(x-x₂) , a, x₁, x₂ pelos respectivos valores e assim achamos a achamos a expressão analítica.

Passos para achar a expressão analítica de uma função do segundo grão usado os vértices ( x_v e yv.)

1.Conhecer a formula y=a(x-x_v)²+y_v

2. A partir do gráfico indicar os vértices x_v e y_v e escolher um ponto no gráficos com valores de (x ,y)

3. Substituir os valores de y, x, x_v e y_v na equação y=a(x-x_v)²+y_v e achar o valor de “a”

4. Depois de encontrar o valor de “a”, substituir na equação y=a(x-x_v)²+y_v , a, x_v, y_v pelos respectivos valores e assim achamos a achamos a expressão analítica.

Exercícios resolvidos para fazer o estudo completo de uma equação quadrática

1.Seja dado o gráfico a seguir de uma função quadrática

A partir do gráfico indique;

a) O domínio

b)A ordenada na origem

c)Os zeros da função

d)Faca o estudo do sinal

e)A monotonia

f)Qual é a expressão analítica do gráfico

Resolução

a) Df; x ∈ é IR ( o domínio de uma função do segundo grão é sempre IR)

b)A ordenada na origem é y=6

c)Os zeros da função são x=2 e x=3

d)Estudo do sinal

	] – ∞ ,2[	]2, 3[	]3, +∞[
f(x)	+	–	+

   Outra alternativa de fazer o estudo da variação de sinal é ;

] – ∞ ,2[U]3, +∞[ é positivo

]2, 3[é Negativo

e)Monotonia da função

	] – ∞ , 3/2[	] 3/2 ,+∞[
f(x)	Decrescente	Crescente

f)Expressão analítica do gráfico

A partir do gráfico podemos notar que quanto x=0, y=6 e os zeros são x₁=2 e x₂=3

Para achar a expressão analítica vamos usar a fórmula”y=a(x-x₁)(x-x₂)” onde primeiramente iremos fazer a subistituição dos valores de x,y,x₁ e x₂ e obter o valor de “a”.

y=a(x-x₁)(x-x₂)

6=a(0-2)(0-3)

6=a(-2)(-3)

6=6ª

6a=6

a=6/6

a=1

Agora com o valor de “a” já calculado vamos achar a expressão analítica substituindo os valores de a, x₁, x₂ na equação y=a(x-x₁)(x-x₂).

y=a(x-x₁)(x-x₂)

y=1(x-2)(x-3)

y=(x-2)(x-3)

y=x²-3x-2x+6

y=x²-5x+6

Portanto a expressão analítica da função representado no gráfico é y=x²-5x+6

2.Faca o estudo completo da função indicado;

a) O domínio e o contra domínio

b)A ordenada na origem

c)Os zeros da função

d)A variação do sinal

e) Estude a monotonia

f)Qual é a expressão analítica do gráfico

Resolução

a) Domínio e o contra domínio

Df; x ∈ IR

D’f : y ∈ ]1; +∞[

b)A ordenada na origem é y=4

c)Os zeros da função

a função não tem zeros

d)A variação do sinal

A função é sempre positiva

e) Estudo da monotonia

	] – ∞ , 1[	] 1 ,+∞[
f(x)	Decrescente	Crescente

f)Determinação da expressão analítica do gráfico

Como a função não tem zeros para achar a expressão analítica “só” podemos recorrer a forma “y=a(x-x_v)²+y_v“ para achar a expressão analítica.

Os vértices (observando no gráfico) são x_v=1 e y_v=1 e quando  x=0, y=4

Vamos substituir esses valores na formula da expressão analítica para achar o valor de “a”.

y=a(x-x_v)²+y_v

4=a(0-1)²+1

4=a(-1)²+1

4=a•1+1

a=4-1

a=3

Tendo o valor de “a” , e os vértices, iremos na formula y=a(x-x_v)²+y_v substituindo “a” pelo respectivo valor, x_v, pelo respectivo valor y_v pelos respectivo valor e assim temos a expressão analítica  

y=a(x-x_v)2+y_v

y=3(x-1)2+1

y=3(x²-2x+1)+1

y=3x²-6x+3+1

y=3x²-6x+4

Desta forma podemos dizer que a expressão analítica da função é y=3x²-6x+4

Exercícios sobre estudo de função (função quadrática) para praticar

Seja dados os gráficos;

Para cada um dos gráficos determine;

1.O domínio

2.O contra domínio

3.Os zeros

4. A ordenada na origem

5.As coordenadas dos vértices

6.O eixo de simetria

7.A variação do sinal

8. A monotonia

9.Determine a expressão analítica

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