Funções quadráticas (funções do segundo grão)

Depois de termos aprendido a resolver as equações quadráticas, e as inequações quadráticas agora vamos aprender sobre as funções quadráticas onde aprenderemos;

– O que são funções quadráticas

– Como representar graficamente uma função quadrática

O que são funções quadráticas

Função quadráticas são funções do tipo f(x)=ax²+bx+c

Exemplos de função quadráticas

EX₁; f(x)=2x²+5x+4

EX₂; f(x)=-4x²-7x+1

EX₃; f(x)=x²-5x+3

EX₄; f(x)=x²+34

EX₅; f(x)=8x²

EX₆; f(x)=-x²

Como é que é o gráfico de uma função quadrática (função do segundo grão)

O gráfico de uma função quadrática (função do segundo grão) é sempre uma parábola, que pode estar voltado para cima ou para baixo;

Quando é que a função quadrática tem parábola voltado para cima e quando esta voltado para baixo ?

A função quadrática tem parábola voltada para cima se o valor de “a” for positivo

A função quadrática tem parábola voltada para abaixo se o valor de “a” for negativo

Como representar graficamente uma função quadrática

Gráfico de uma equação quadráticas com a > 0 e ∆ > 0

Como “a” menor que zero significa que a função tem parábola volta para cima, e como delta é positivo tem raízes reais o nesses casos o gráfico será ;

Gráfico de uma equação quadráticas com a < 0 e ∆ > 0

Como o valor de a < 0 significa que a função tem parábola volta para baixo, e como delta é positivo a função tem zeros, nesses casos o gráfico terá a seguinte configuração;  

Gráfico de uma equação quadráticas com a > 0 e ∆ < 0

Como o valor de “a” é maior que zero a função tem parábola volta para cima, e como delta é menor que zero a equação não raízes, o que significa que a função não tem zeros o gráfico será:

Gráfico de uma equação quadráticas com a < 0 e ∆ < 0

Nesses casos a função tem parábola volta para baixo, e como delta é menor que zero a equação não raízes então não irá atravessar o eixo das abcissa.

Coordenadas de vértices de uma equação quadrática

Quando vamos de coordenadas de Coordenadas de vértices de uma equação quadrática estamos a falar de x_v e y_v.

X vértice (x_v) representa o valor da abcissa o valor da abcissa onde o gráfico se divide em duas partes iguais. E pode ser calculado a partir de;

O valor do x vértice (xv) também pode ser achado a partir da media aritmética das raízes;

y vértice (y_v) representa o valor máximo ou mínimo da função.

O yv representa o valor máximo da função se o valor de “a” for menor que zero.

O yv representa o valor mínimo da função se o valor de “a” for positivo (maior que zero).

O valor de yv pode ser calculado a partir da fórmula;

Coordenadas de vértices

As coordenadas de vértices são (x_v,y_v)

Dicas práticas para representar uma equação do segundo grão

1.Calcular os valores de x_v e y_v

Os valores de x_v e y_v são calculados a partir das fórmulas;

2.Calcular os zeros da função(x₁ e x₂)

As raízes (os zeros) da equação são calculadas a partir da fórmula;

3. Identificar ou calcular o valor da ordenada na origem

Devemos ter sempre em mente que o valor de “c” representa o valor da ordenada na origem ( valor de y quando x=0)

4. Analisar se o gráfico tem parábola voltada para cima ou para baixo

• Se o valor de “a” for maior que zero o gráfico esta voltado para cima se for negativo esta voltado para baixo.

5.Desenhar o gráfico

Depois de ter já todos pontos é só representar esses dados no nos sistema de cordenadas XOY e assim temos o gráfico da equação quadrática.

Exercícios resolvidos para representar gráficos de funções quadráticas

1.Represente graficamente a função;

a) f(x)=x²-5x+6

Resolução

f(x)=x²-5x+6

a=1, b=-5, c=6

 Primeiro vamos calcular as coordenadas de vértice

Agora vamos calcular as raízes

A ordenada na origem

f(0)=0²-5•0+6=6

Nota; A ordenada na origem é sempre o valor de “c”

Como o valor de “a” é positivo a parábola terá concavidade voltada para cima e tendo em conta os valores das raízes e dos vértices o gráfico fica;

b) Faça o gráfico da função; f(x)=-2x²+8x+10

Resolução

a=-2 , b=8, c=10

 Primeiro vamos calcular as coordenadas de vértice

Agora vamos calcular as raízes

A ordenada na origem

A ordenada na origem é o valor de “c” que é 10

Como o valor de “a” é negativo a parábola terá concavidade voltada para baixo assim o gráfico fica;

c)Represente graficamente a seguinte função quadrática;

f(x)=3x²+6x+4

Resolução

a=3 , b=6, c=4

 seguindo o mesmo raciocino vamos calcular as coordenadas de vértice

Calculo das raízes

Como delta deu o valor negativa (∆=-12<0) significa  que a função não tem raízes

Ordenada na origem

A ordenada na origem é 4 ( o valor de “c” )

Como o valor de “a” é positivo a parábola terá concavidade voltada para cima e tendo em conta que a ordenada na origem é 4 e os vértices são (1,1) e que a equação não tem zeros o gráfico fica.

Exercícios sobre funções quadráticas para praticar

Represente graficamente as seguintes funções quadráticas;

a)g(x)=x²-9

b) f(x)=-3x²+15x-18

c) f(x)=4x²+x+2

d)f(x)=-x²+10x-25

e)f(x)=x²

f)f(x)=100x²

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