Derivada de funções logarítmicas

Derivada de uma função logarítmica

Nessa aula iremos aprender como derivar funções logarítmicas primeiro veremos como derivar funções logarítmicas.

Seja uma função logarítmica

Para achar a derivada função logaritmo vamos usar a definição de derivada usando limites

Substituindo pela nossa função, que é a função logaritmo para achar a derivada temos:

Vamos aplicar a propriedade de logaritmos de mudança de bases 

Demonstração rápida e pratica de derivada de funções logaritmos

Uma forma muito rápida e de fazer a demonstração da derivada de funções logarítmicas é transformar a expressão logaritmo em uma expressão exponencial depois derivas ambos membros por fim isolar y derivada (y’)

Derivada do logaritmo natural

Para derivar uma função logaritmo de com bane natural aplicamos a mesma forma que usamos para derivar uma função logaritmicas de base não natural a única diferença é que se a base for natural não precisamos de dividir por logaritmo natural da base, pois se a base for natural (a base for e) logaritmo natural da base vale um ( lne=1);

Exercícios de derivada de funções logarítmicas

a) Calcule a derivada da função ; f(x)=ln(x²+3x)

Vamos derivar essa função logarítmica aplicando longo a forma de derivada do logaritmo que é de derivar o logaritmo sobre o logaritmano sem derivar {f(x)=lnu f’(x)=u’/u }

b) Calcule a derivada da função; g(x)=ln (4x³-x+2)

A derivada da função logaritmo g(x)=ln (4x³-x+2) será ada derivada de (4x³-x+2) sobre (4x³-x+2);

c) Calcule a derivada da função;y=ln(x+1)

d) Calcule a derivada da função; f(x)=ln(2x⁵-3x²)⁴

Para simplificar a derivada dessa expressão logarítmica primeiro vamos tirar o expoente do logaritmano aplicando a propriedade do logaritmo[lnuⁿ=n•ln u]ou seja; ln(2x⁵-3x²)⁴= 4ln(2x⁵-3x²) dai temos uma constante a multiplicação uma função a derivada dessa função é só multiplicação a constante pela derivada da função.

Para resolver essa derivada do logaritmo primeiro vamos transformar a raiz em potência e por conseguinte aplicar a propriedade de a potência multiplicação o logaritmo, depois derivar

Derivar essa função logaritmo assim como esta pode nos dar muito trabalho desnecessário, para fazer a derivação dessa função vamos separa o logaritmo em duas partes que será o logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador depois derivar cada uma das parte assim teremos a derivada dessa expressão logarítmica.

Exercícios para praticar derivadas de funções logarítmicas

Usado o conhecimento de derivadas de função logarítmica derive as funções abaixo; aplicando a formula de derivada de funções logarítmicas calcule;