Derivada de funções trigonométricas inversas (arctangente e arcco-tangente)
Depois de termos visto as derivadas da funções inversas arcseno e arccosseno agora vamos ver as derivadas da funções inversas tangente e co-tangente vamos ver e demonstrar a formula da derivada de y=arctah(x) e y=arcctg(x) e depois iremos resolver os seguintes exercícios para adquirimos conhecimentos práticos de derivada de funções trigonométricas inversas;
Derivada da função inversa de tangente (Derivada de função arctangente)
y=acrtan(x)
Derivada da função
y=arctan(x)
Demonstração
Para calcular a Derivada da função y= acrtan(x) vamos colocar a função em função de y conforme sabemos se y= acrtan(x) então x=tan(y).
x=tan(y)
Tendo a função nessa forma já podemos derivar uma vez que conhecemos a derivada da função trigonométrica tangente tan(y) e a derivada de x, então derivaremos ambos membros;
x’=(tan(y))’
Vamos isolar a derivada da função y (isolar y’) passando o cos²(y) para multiplicar no outro membro
y’=x’cos² y
Vamos recorrer a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de cos²(y) em relação a x.
sin²y+cos²y=1
Dividindo ambos membros por cos²y temos ;
Vamos isolar o cos²y ao quadrado
No segundo passo dessa demonstração dissemos que x=tan(y) então onde tem tan(y) iremos substituir por x pois tan(y)=x
Então na expressão da derivada da função inversa (y’=x’cos² y) onde tem cos²(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arctanx
Derivada da função inversa de co-tangente (Derivada de função arcco-tangente)
y=acrctg(x)
Tal como fizemos para calcular a derivada da função arctg(x) vamos colocar a função em função de y conforme sabemos se y= acrctg(x) então x=ctg(y).
x=ctg(y)
Vamos derivar ambos membros;
x’=(tan(y))’
Vamos isolar y’passando o sen²(y) para multiplicar no outro membro;
y’=-x’sen²y
recorrendo a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de sen²(y) em relação a x.
cos²y+ sin²y=1
Dividiremos os dois ambos membros por sen²y fazendo isso temos ;
Vamos achar a expressão de sen²y para substituímos na expressão da derivada da função inversa
Como x= ctg(y) então onde tem ctg(y)iremos substituir por x pois ctg(y)=x
Então na expressão da Derivada da função inversa (y’=-x’sen² y) onde tem sen²(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arcctg(x)
Formula de derivada de funções trigonométricas inversas arctanx e arcctgx
De acordo com as demonstrações acima de derivada de funções trigonométricas inversas temos;

Exercício práticos derivadas de funções inversas arctangente e arcco-tangente
a)Calcule a derivada da função y=arctan(5x)
Estamos diante de uma função inversa então para derivar vamos usar a forma da derivada da função inversa arctangente.y=arctan(u), y’=u’/(1+u²) aplicando a forma temos;
b)Calcule a derivada da função y=arcctg(-2x)
Vamos usar a forma da derivada da função arcctg(u) sabemos que se y=arcctg(u) a sua derivada é y’=-u’/(1+u²) aplicando a forma ;
c)Determine a derivada da função y=arcctg(x²+1)
e)Encontre a derivada da função y=(x+2) arctan(x)
Estamos diante de um produto de função então para derivar vamos usar a formula da derivada do produto “regra do produto“
Vamos derivar de forma imediata aplicando a formula da derivada de arcctg(u);
g)Ache a derivada da função y=arctan[ln(x)]
Vamos aplicar a forma da derivada da função arctan(u) ” y’=u’/(1+u²) “tendo em conta que para este exercício o nosso u e ln(x) então precisaremos de conhecer a derivada da função ln(x);