Derivada da função arctan(x) e arcctg(x)

Derivada de funções trigonométricas inversas (arctangente e arcco-tangente)

Depois de termos visto as derivadas da funções inversas arcseno e arccosseno agora vamos ver as derivadas da funções inversas tangente e co-tangente vamos ver e demonstrar a formula da derivada de y=arctah(x) e y=arcctg(x) e depois iremos resolver os seguintes exercícios para adquirimos conhecimentos práticos de derivada de funções trigonométricas inversas;

Derivada da função inversa de tangente (Derivada de função arctangente)

y=acrtan(x)

Derivada da função

y=arctan(x)

Demonstração

Para calcular a Derivada da função y= acrtan(x) vamos colocar a função em função de y conforme sabemos se y= acrtan(x) então x=tan(y).

x=tan(y)

Tendo a função nessa forma já podemos derivar uma vez que conhecemos a derivada da função trigonométrica tangente tan(y) e a derivada de x, então derivaremos ambos membros;

x’=(tan(y))’

Vamos isolar a derivada da função y (isolar y’) passando o cos²(y) para multiplicar no outro membro

y’=x’cos² y

Vamos recorrer a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de cos²(y) em relação a x.

sin²y+cos²y=1

Dividindo ambos membros por cos²y temos ;

Vamos isolar o cos²y ao quadrado

No segundo passo dessa demonstração dissemos que x=tan(y) então onde tem tan(y) iremos substituir por x pois tan(y)=x

Então na expressão da derivada da função inversa (y’=x’cos² y) onde tem cos²(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arctanx

Derivada da função inversa de co-tangente (Derivada de função arcco-tangente)

y=acrctg(x)

Tal como fizemos para calcular a derivada da função arctg(x) vamos colocar a função em função de y conforme sabemos se y= acrctg(x) então x=ctg(y).

x=ctg(y)

Vamos derivar ambos membros;

x’=(tan(y))’

Vamos isolar y’passando o sen²(y) para multiplicar no outro membro;

y’=-x’sen²y

recorrendo a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de sen²(y) em relação a x.

cos²y+ sin²y=1

Dividiremos os dois ambos membros por sen²y fazendo isso temos ;

Vamos achar a expressão de sen²y para substituímos na expressão da derivada da função inversa

Como x= ctg(y) então onde tem ctg(y)iremos substituir por x pois ctg(y)=x

Então na expressão da Derivada da função inversa (y’=-x’sen² y) onde tem sen²(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arcctg(x)

Formula de derivada de funções trigonométricas inversas arctanx e arcctgx

De acordo com as demonstrações acima de derivada de funções trigonométricas inversas temos;

Exercício práticos derivadas de funções inversas arctangente e arcco-tangente

a)Calcule a derivada da função y=arctan(5x)

Estamos diante de uma função inversa então para derivar vamos usar a forma da derivada da função inversa arctangente.y=arctan(u), y’=u’/(1+u²) aplicando a forma temos;