Avançar para o conteúdo
Início » Aulas » Derivada da função arctan(x) e arcctg(x)

Derivada da função arctan(x) e arcctg(x)

Derivada de funções trigonométricas inversas (arctangente e arcco-tangente)

Depois de termos visto as derivadas da funções inversas arcseno e arccosseno agora vamos ver as derivadas da funções inversas tangente e co-tangente vamos ver e demonstrar a formula da derivada de y=arctah(x) e y=arcctg(x) e depois iremos resolver os seguintes exercícios para adquirimos conhecimentos práticos de derivada de funções trigonométricas inversas;

Derivada da função inversa de tangente (Derivada de função arctangente)

y=acrtan(x)

Derivada da função

y=arctan(x)

Demonstração

Para calcular a Derivada da função y= acrtan(x) vamos colocar a função em função de y conforme sabemos se y= acrtan(x) então x=tan(y).

x=tan(y)

Tendo a função nessa forma já podemos derivar uma vez que conhecemos a derivada da função trigonométrica tangente tan(y) e a derivada de x, então derivaremos ambos membros;

x’=(tan(y))’

Vamos isolar a derivada da função y (isolar y’) passando o cos²(y) para multiplicar no outro membro

y’=x’cos² y

Vamos recorrer a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de cos²(y) em relação a x.

sin²y+cos²y=1

Dividindo ambos membros por cos²y temos ;

Vamos isolar o cos²y ao quadrado

No segundo passo dessa demonstração dissemos que x=tan(y) então onde tem tan(y) iremos substituir por x pois tan(y)=x

Então na expressão da derivada da função inversa (y’=x’cos² y) onde tem cos²(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arctanx

Derivada da função inversa de co-tangente (Derivada de função arcco-tangente)

y=acrctg(x)

Tal como fizemos para calcular a derivada da função arctg(x) vamos colocar a função em função de y conforme sabemos se y= acrctg(x) então x=ctg(y).

x=ctg(y)

Vamos derivar ambos membros;

x’=(tan(y))’

Vamos isolar y’passando o sen²(y) para multiplicar no outro membro;

y’=-x’sen²y

recorrendo a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de sen²(y) em relação a x.

cos²y+ sin²y=1

Dividiremos os dois ambos membros por sen²y fazendo isso temos ;

Vamos achar a expressão de sen²y para substituímos na expressão da derivada da função inversa

Como x= ctg(y) então onde tem ctg(y)iremos substituir por x pois ctg(y)=x

Então na expressão da Derivada da função inversa (y’=-x’sen² y) onde tem sen²(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arcctg(x)

Formula de derivada de funções trigonométricas inversas arctanx e arcctgx

De acordo com as demonstrações acima de derivada de funções trigonométricas inversas temos;

Derivada de arctan(x) e arcctg(x)

Exercício práticos derivadas de funções inversas arctangente e arcco-tangente

a)Calcule a derivada da função y=arctan(5x)

Estamos diante de uma função inversa então para derivar vamos usar a forma da derivada da função inversa arctangente.y=arctan(u), y’=u’/(1+u²) aplicando a forma temos;

b)Calcule a derivada da função y=arcctg(-2x)

Vamos usar a forma da derivada da função arcctg(u) sabemos que se y=arcctg(u) a sua derivada é  y’=-u’/(1+u²) aplicando a forma ;

c)Determine a derivada da função y=arcctg(x²+1)

e)Encontre a derivada da função y=(x+2) arctan(x)

Estamos diante de um produto de função então para derivar vamos usar a formula da derivada do produto “regra do produto

Vamos derivar de forma imediata aplicando a formula da derivada de arcctg(u);

g)Ache a derivada da função y=arctan[ln(x)]

Vamos aplicar a forma da derivada da função arctan(u) ” y’=u’/(1+u²) “tendo em conta que para este exercício o nosso u e ln(x) então precisaremos de conhecer a derivada da função ln(x);

Derivada da função arctan(x) e arcctg(x) exercícios para praticar

Calcule a derivas das funções trigonométricas inversas abaixo;


Seria muito bom você aprender

Apostila de Cálculos de limites (Ebook de calculo I)

Apostila de cálculo de limite Você sabia que tem um Ebook de cálculo de limites que pode ajudar você a ter um bom desempenho académico na disciplina de cálculo I. Uma apostila feito para você aprender…

Aplicação da primeira e segunda derivada extremos e ponto de infecção

Estudo da primeira derivada Seja uma função f(x) continua Assim temos representado os gráficos de uma função f (x) e sua derivada f ’(x) Notamos claramente que;   ]- ∞, b[ b ]b, d[ d ]d,+ ∞[ f (x…

Calculo aproximado usando derivada

Definição derivada Para percebemos como usar as derivadas para fazer o cálculo aproximado vamos usar o conceito de derivada usando limites; Podemos tirar limite apenas tendo em conta que Δx se aproxim…

Resolução de (Teste I) de Calculo I UNIFEI

1) Calcule caso exista. Se não existir explique o por quê:Primeiro vamos Substituir onde vem x pela tendência que é 1 Temos uma indeterminação do tipo zero sobre zero 0/0 para resolver este limite (pa…

Derivada de uma função exponencial

Para acharmos a derivada de uma função exponencial vamos o usar a definição de derivada usando limites A derivada de uma função y=a˟ é o própria função y’=a˟ •lna caso não tenha in…

Derivada de uma função usando definição

Definição de derivadas Chamamos de derivada da função f(x) no ponto qualquer a inclinação da recta tangente ao gráfico da função f(x) nesse ponto, e representamos por f'(x). O que é uma rect…

Derivada de uma função

Depois de termos aprendendo o conceito de derivada agora é a hora de aprendemos a calcular derivada de funções. Primeiramente aprenderemos como calcular deriva de uma função to tip…

Derivada de funções implícitas

Antes de aprendermos a derivar uma função implícita é necessário saber o que é uma função implícita! Definição de função implícita Uma função implícita é uma função do tipo F(x,y)=…

Derivada de funções paramétricas

Derivada de funções paramétricas Seja  y=f(t) e x=g(t) nesse caso podemos afirmar que x e y estão dadas na forma paramétrica. Como achar a derivada de uma função dada na forma paramétri…

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado.