Derivada de uma função irracional (Derivada de uma função que contem raiz)

Derivada de uma expressão irracional simples

Vamos primeiro a achar a fórmula que nos permite derivar uma expressão irracional do tipo;

Vamos transformar a raiz em uma potência uma vez que nos ainda não sabemos derivar uma expressão com raiz;

Agora que já transformamos a raiz em potência , podemos já derivar aprendemos que a derivada de y=xⁿ é y’=nxⁿ¯¹  o nosso a para a expressão em questão é p/n, aplicando essa formula temos;

Demonstramos que ;

Calculo de derivas de funções irracionais simples 

De acordo com a demonstração que fizemos para a derivada de funções irracionais temos;

Para a função do nosso exercício p=1 e n=2 (na raiz quadrada o índice é dois)vamos derivar aplicando essa formula

Vamos usar as formas de derivadas de funções com raiz tendo em conta que agora é uma raiz cúbica.

Derivada de uma função irracional composta

Acima vimos como derivar uma expressão que contem raiz e a expressão que esta dentro da raiz não é uma simples função (é uma função composta), agora vemos quando a expressão que esta dentro da raiz é uma expressão composta para isso vamos transformar a raiz em uma potência.

Derivada de função irracionais composta

Agora se for uma função u(x) de uma expressão que esta dentro de uma raiz quadrada

Tendo em conta que para uma função u dentro da raiz quadrada o índice da raiz é dois (n=2) e o expoente é um (p=1) temos;

Calcule a derivada das seguintes funções irracionais

Para calcular a derivada dessa função irracional vamos usar a forma de derivadas de funções que contem raiz que fizemos a demonstração acima

Essa também é uma expressão irracional então sua derivada é obtida usando a mesma formula.

Para derivar essa função vamos seguir a mesma linha de raciocino de derivada de funções irracionais.

Podemos passar a raiz para o numerador mudando o sinal do expoente ta base para facilitar a derivação dessa função irracional;

Exercícios para praticar derivadas de funções irracionais 

Usado o conhecimento de derivadas de função irracional derive as funções abaixo aplicando a formula de derivada de funções irracionais;