Equações diferencias
O que é uma equação diferencial?
Equação diferencial é uma equação que contém derivada.
Exemplos de equações diferencias
a) y’-2x=0
b) yxdy-xdx=4x
c)(y’’)²-xy’=x²+3x
d) 4y’’’+3y=sen(x)+x
Classificação de uma equação diferencial quanto a Ordem
A classificação das equações diferencial quanto a ordem é feita tendo em conta a derivada de máxima ordem, se a derivada de máxima ordem tiver ordem “n” diremos a equação diferencial é uma equação de ordem “n”.
Exemplos de classificação de equações diferencias quanto a ordem
a) y’-2x=0 equação diferencial de primeira ordem
b) 5y’’+y-2x=0 equação diferencial de segunda ordem
c) y’-y’’+y=2x equação diferencial de segunda ordem
d) 4y’’’+3y=sen(x)+x equação diferencial de terceira ordem
Equações diferencias lineares
Uma equação diferencial é linear se ela poder ser escrita na forma;
a0(x)yⁿ + a1(x) yⁿ¯¹+ a2(x) y ⁿ¯²+… + an(x)y=g(x)
Nota; os expoentes representam as derivada.
Equações diferencias não lineares
Uma equação diferencial que não satisfaz a condição de linearidade, diremos que ela é uma equação diferencial não linear.
Exercícios
Verifique para cada uma das funções diferencias se são ou não linear
a) y’’-3xy=x²
A equação é linear
b) (x+2)²y’-y=0
A equação é linear
c)y’’’+yy’+xy=x³+3
A equação não é linear pois por causa do y que multiplica o y’ na equação diferencial não podemos só podemos ter produto de an(x) e yⁿ.
Equação diferencial ordinária
Equação diferencial ordinária é uma equação diferencial contendo uma função que dependa apenas de uma só variável independente.
Exemplos de equação diferencial ordinária
a)y’’’+yy’+y=x³+3
b)x²y’+xy=sen(x)+x
c)ln(x+3)yy’’’= cos(x²+2x)
b)( y’’)³+xyy’+y=sen²(x)+x
Equação diferencial Parcial
Equação diferencial Parcial é uma equação diferencial contendo uma função com mais de uma variável independente.
a)y’(t)+(2t+1)y’(x)+xy= 3
Note que a que nos temos duas variáveis independentes o x e o t por isso nos dissemos que a equação é parcial (tem mais de uma variável independente)
Quais são o tipos de equações diferencias
-Equação diferencial com variáveis separáveis
-Equação diferencial de primeira ordem
-Equação diferencial de segunda ordem
-Equação diferencial de ordem superior
…
Solução de uma equação diferencial
A) Verifique se a função y=x² é solução da equação y’-2x=0
Resolução
Privamos achar y’a parti da função y= x²
y= x²
y’= 2x
Agora vamos verificar se y’-2x=0
2x -2x=0
0=0
Logo a função y= x² é solução da equação diferencial y’-2x=0
b) Averigúe se a função y=x+C é solução da equação y’’-2y=1
Resolução
Primeiramente vamos achar y’ e de seguida y’’
y=x+C
y’=1
y’’=0
Agora vamos verificar se y’’-2y=1
y’’-2y=1
0- x+C =1
x+C =1
Como x+C é diferente de 1logo a função y=x+C não é solução da equação diferencial y’’-2y=1
C) A função y=sen(x) é solução da equação y’’-y’+y=-cos(x)
Resolução
Primeiramente vamos achar y’ e de seguida y’’ y=sen(x)
y=sen(x)
y’= cos(x)
y’’=- sen(x)
Agora vamos verificar se
y’’-y’+y=-cos(x)
y’’-y’+y=-cos(x)
– sen(x)-cos(x)+ sen(x) =-cos(x)
-cos(x)=-cos(x)
Como y’’-y’+y=-cos(x) é igual para y= sen(x) logo a função y= sen(x) é solução da equação diferencial y’’-y’+y=-cos(x)
Logo a função y= x² é solução da equação diferencial y’-2x=0