Equação diferencial de Bernoulli

A equação diferencial de Bernoulli é Equação diferencial não linear que esta ou pode ser escrita na forma;

y’+p(x)y=q(x)yⁿ

A equação de Bernoulli não é linear então n≠0. E n deve ser sempre um valor diferente de 1.

Como resolver uma equação diferencial de Bernoulli

A resolução de uma equação diferencial de Bernoulli é feita aplicando o método de mudança de variáveis de modo a transformar a equação numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Passos para a resolução de uma equação diferencial de Bernoulli

• Primeiro passo dividir ambos membros por yⁿ

• Segundo passo fazer a substituição z=y¹¯ⁿ  Com essas transformações a equação se torna uma equação diferencial linear de primeira ordem.

• Terceiro passo resolver a equação diferencial de primeira ordem e achar, depois de achar z achar y a partir da substituição feita no segundo passo.

 

Exercício de Equação diferencial de Bernoulli

Ache a solução da equação diferencial

Resolução

A equação é uma equação diferencial de Bernoulli, para resolver vamos aplicar os passos para a resolução de uma equação de Bernoulli.

Vamos passar o y² para dividir cada uma das expressões no primeiro membro.

Vamos transformar essa equação de Bernoulli em uma equação diferencial linear de primeira ordem fazendo a substituição;

Vamos achar a derivada de z

Logo podemos dizer que;

Substituindo na equação principal temos

Vamos multiplicar ambos membros por menos um de modo a termos uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Como resolver uma equação linear nos já aprendemos, temos que fazer a
substituição;

z=uv

Fazendo essa substituição resulta em

Fazendo v’-
1/x v=0 temos ;

Agora vamos achar u a partir da equação

 Como já temos u e v vamos achar z

z=uv

z=(-x+c)x

z=-x²+xc

Para finalizar como já temos z vamos achar y. (inicialmente dissemos que
z=1/y)

Assim temos a solução da equação diferencial