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Equação diferencial linear de primeira ordem

O que é uma equação diferencial linear de primeira ordem

Uma equação diferencial é linear de primeira ordem se esta ou pode ser escrita na forma;

y’+p(x)y=q(x)

Como resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem

Para achar a solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem fazemos a substituição y=uv e substituímos na equação.

y’+p(x)y=q(x)

(uv)’+p(x) ( uv)  =q(x)

u’v+uv’+uvp(x)=q(x)

u’v+u(v’+vp(x)))=q(x)

Dai vamos v’+vp(x))=0 e achamos (assim a equação se torna uma equação diferencial com variáveis separáveis).

De seguida já com o v calculado achamos u

u’v+0=q(x)

u’v=q(x)

Depois escrever a solução da equação diferencial linear que é y=uv

Exercício resolvido de equação diferencial linear de primeira ordem

Encontre a solução da equação diferencial

A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, então para resolver a equação vamos fazer a substituição y=uv

Vamos igual v’+2xv a zero e achar a solução.

Agora vamos achar o v.

Como já temos u e v vamos achar y que é;

Encontre a solução da equação diferencial;

Resolução

Vamos dividir ambos membros por x (para que a equação se torne uma equação diferencial linear de primeira ordem

A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, então para resolver a equação vamos fazer a substituição y=uv

Vamos igual “v’+(x+1)/x v” a zero e achar a solução.

Agora vamos achar o v.

Como já temos u e v vamos achar y que é;

Resolva a equação diferencial 

Resolução

A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, então para resolver a equação vamos fazer a substituição y=uv

Vamos igual “v’+ vcos(x)” a zero e achar a solução.

Agora vamos achar o u.

Seja sen(x)=t

cos(x)dx=dt

Aplicando o método de integrais por partes temos;

U=t

dU=dt

Fazendo a substituição temos;

Como já temos u e v vamos achar y que é;

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Equação diferencial linear de primeira ordem

→ Equação diferencial com variáveis separáveis

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