Sucessão limitada
Uma sucessão diz-se limitada se todos termos da sucessão estão compreendidos em determinado intervalo a e b finito ou seja na sucessão temos um majorante (o maior termo) e um minorante (o menor termo).
Exemplo;
an = (4,2,0,-2)
Note: que a sucessão “tem um inicio e um fim”
Começa no 4 e termina no -2
O majorante é o maior termo da sucessão, logo o majorante é na sucessão é 4
O minorante é o menor termo da sucessão, portanto o minorante é na sucessão é -2
Mais exemplos de sucessões limitadas
bn = (-3,-6,-9,-12,-15)
vn = (25,30,35,45,50)
kn = (25,30,35,…,50)
Observação Un é limitada pois tem todos os termo da sucessão estão compreendidos no intervalo de ½≤Un<0
Sucessão ilimitada
Uma sucessão diz-se ilimitada se os termos da sucessão são infinitos. Uma sucessão ilimitada só tem majorante ou minorante e nunca majorante e minorante.
an = (1,2,3,4,5…)
“Note; que a sucessão tem um inicio mais não tem fim”
Começa no 1 e não termina
1 é o minorante na sucessão
Mais exemplos de sucessões ilimitadas
bn = (3,6,9,12,15…)
vn = (23,20,17,14,11…)
Classificação de uma sucessão quanto a monotonia
Sucessão crescente
Uma sucessão diz-se crescente quando na medida que a ordem aumenta os termos também vão crescendo.
U(n+1)> Un
U(n+1)– Un>0
Exemplos
sn = (13,16,19,21,35…)
Sucessão decrescente
Uma sucessão é decrescente quando na medida que a ordem aumenta os termos vão decrescendo.
U(n+1)< Un
U(n+1)– Un>0
Exemplos
fn = (40,36,33,21,15…)
xn = (-1,-7,-11,-21 …)
Sucessão não crescente
Uma sucessão diz-se não crescente quando na medida que a ordem aumenta os termos não crescem
U(n+1)≤ Un
U(n+1)– Un≤0
Exemplos
on = (12,12,7,5,5,3…)
yn = (11,7,4,2…)
Nota; toda sucessão decrescente é não crescente mais nem toda sucessão não crescente é decrescente
Sucessão não decrescente
Uma sucessão diz-se não decrescente quando na medida que a ordem aumenta os termos não decrescem
U(n+1)≥ Un
U(n+1)– Un≥0
Exemplo
ln = (5,7,9,9,11…)
en = (1,6,11,16…)
Nota; toda sucessão crescente é não decrescente mais nem toda sucessão não decrescente é crescente
Sucessão constante
Uma sucessão diz-se constante quando os termos da sucessão são constante
U1= U2=U3=U4=Un
Exemplo
qn = (6,6,6,6,6…)
Classificação de uma secessão quanto a convergência
Sucessão convergente
Uma sucessão é convergente se converge para um valor k ou seja o seu limite é um valor numérico
Exemplo
Sucessão divergente
Uma sucessão é divergente se ela não for convergente converge ou seja o não tem limite.
Exemplo
dn = (2,9,17,25,33…)
Sucessão infinitamente grande positiva
Uma sucessão diz-se infinitamente grande positiva se o limite for igual a mais infinito
Exemplo
mn = (34,63,94,124,155…)
jn=3n-9
Sucessão infinitamente grande negativa
Uma sucessão diz-se infinitamente grande negativa se o limite for igual a menos infinito
Exemplo
hn = (-3,-10,-17,-24,-33…)
jn=-35n-4
Sucessão infinitamente pequena (infinitésimo)
Uma sucessão diz-se infinitamente pequena ou infinitésimo se o limite for igual a zero
Exemplo
Exercício de aplicação
a) Classifique a sucessão quanto a monotonia
b) Classifique a sucessão quanto ao limite
c)Quanto a convergência
Resolução
a)Para classificar a sucessão quanto a monotonia
a(n+1)-an
R: Quanto a monotonia a sucessão an é decresceste
b) Para classificar a sucessão quanto ao limite devermos primeiro procurar saber se a sucessão tem majorante e minorante.
R: A sucessão quanto ao limite ela é limitada pois tem um majorante e um minorante o majorante é 1 e o minorante é 0
c) Quanto a convergência a sucessão é convergente (converge para 0)
a) Classifique a sucessão
b)Quais são os majorantes e minorantes
Resolução
Primeiro vamos classificar bn quanto a monotonia
Para tal usaremos a formula b(n+1)-bn e vamos analisar o sinal dessa diferença
O numerador da expressão b(n+1)-bn é sempre positivo(para valores de n natural) e o denominador oscila
R: Então a sucessão bn Quanto a monotonia é oscilante.
*Quanto ao limite a sucessão é ilimitada pois o limite é infinito
*Quanto a convergência a sucessão é divergente pois não tem limite (não converge para nenhum valor)
b)Para achar o majorante e minorante Samos calcular o primeiro e ultimo termo
O majorante é o maior termo nessa sucessão o majorante é 32 e como a sucessão é limitada e tem majorante então a sucessão não tem minorante.
3.para a sucessão an=cos(n) responda;
a) Na e uma sucessão limitada ou ilimitada?
b) Indique os 3 primeiros termos dessa sucessão an
Resolução
a)A sucessão na é limitada pois os valores de cós(n) então contido no intervalo fechado ( -1≤an≤1 )
b) Os 3 primeiros termos dessa sucessão nasão;
a1=cos1 ,a2=cos2 e a3=cos3
Recomendamos ver:
Conceito de sucessão e termo geral de uma sucessão qualquer