Funções logarítmicas (Representação gráfica e estudo completo)

O que são funções logaritmicas?

Funções logarítmicas são funções em que a variável esta no logaritmano, não basta só saber o concito de funções logarítmicas e necessário saber fazer o gráfico de uma função logarítmicas.

Exemplos de funções logarítmicas

a)f(x)=log₂ x

b)f(x)=log₂ (x+7)

c) f(x)=log₃x-4

d) f(x)=log₅ (x+1) – 2

Como fazer o gráfico de uma função logarítmica

Uma função logarítmica pode estar aprestada em basicamente nas seguintes formas :

1.f(x)=log_a x

2.f(x)=log_a (x+b)

3. f(x)=log_a x+c

4. f(x)=log_a (x+b)+c

Estudo completo uma função logarítmica

Domínio de uma função logaritmo

Uma função logaritmo conforme já aprendemos é uma função do tipo f(x)= log_a x onde “a” chamamos de base e x de logaritmano.

Tanto a base como o logaritmano não pode ser negativos e a base não pode ser 1.

O domínio considerado que “a” seja um numero positivo diferente de um, o domínio ou o conjunto de valores que “x” pode assumir são todos os valores positivos ou seja x>0 que podemos representar como;

Df; x ∈ ]0,+ ∞[

* Domínio de uma função domínio de uma função logaritmo do tipo f(x)= log_a (x+b)+c

O domínio é feito de forma análogo tendo em conta que o logaritmano deve ser positivo.

Df; x+b>0

x>-b

Em forma de intervalo podemos representar o domínio como; Df; x ∈ ]-b,+ ∞[.

Função inversa de uma função logaritmo

A função inversa de uma função logaritmo é sempre uma função exponencial, e a inversa de uma função exponencial é sempre uma função logarítmica.

Exemplos de funções logaritmo e suas inversas

Função logaritmo	Sua inversas
f(x)=loga x	f^-1(x)=a^x
g(x)= log_a (x+b)	g^-1(x)= a^x-b
h(x)=log_a x+c	h^-1(x)=a^(x-c)
k(x)= log_a (x+b) + c	k^-1(x)=a^(x-c)-b

Representação gráfica de uma função logarítmica f(x)=log_a x

Para fazermos o gráfico de uma função logarítmica convêm recorremos a sua inversa, pois fazer o gráfico de uma função logarítmica atribuindo valores aleatórios ao x pode ser muito trabalhoso.

Exercícios resolvidos para construir gráficos de uma funções logarítmicas e fazer o estudo completo

1.Representar o gráfico da função f(x)=log₃ x e fazer o estudo completo.

Podemos fazer esse gráfico atribuindo valores ao x e vermos o valor que f(x) toma mais esse método pode nos dar muito trabalho, por exemplo se formos a escolher x=2 qual será o valor de f(2) , o valor de f(2) é f(2)=log₃ 2 esse valor é muito trabalhoso representar com exactidão do gráfico.

Para evitar esses problemas para representar o gráfico da função f(x)=log₃ x vamos recorrer a função inversa que é g(x)=3^x e depois inverter os valores ( os valores de x passam para y e os valores de y passam para x)

Construiremos uma tabela de valores onde atribuiremos valores ao x e vemos quão são os valores que a função ( g(x)=3^x ) assume para cada valor de x atribuído.

i) Fazer uma tabela e atribui valores ao x e ver os valores que y=f(x) toma.

x	f(x)=3^x
-2	1/9
1	1/3
0	1
1	3
2	9

Agora vamos inverter os valores de x para y e assim temos a tabela f(x)=log₃ x

x	f(x)=log₃ x
1/9	-2
1/3	1
1	0
3	1
9	2

Agora vamos representar esses valores no sistemas de coordenadas xoy e assim teremos o gráfico da função f(x)=log₃ x

II) representar o gráfico

Estudo completo da função f(x)=log₃ x

A função tem domínio x ∈ IR⁺ ( o x só assumes valores positivos)

Contra domínio y ∈ IR ( a função pode assumir todos valores )

Zeros da função x=1

Ordenada na origem

A função não tem ordenada na origem

Monotonia

A função é crescente

Variação de sinal

]0,1[ negativo

]1,+ ∞[ positivo

Equação da Assinptota

A função tenta a tocar a recta vertical x=0, então diremos que a função tem uma Assimptota vertical x=0

AV; x=0

2.Representação gráfica estudo completo da função logarítmica

Para fazer o gráfico dessa função usaremos a sua inversa, onde primeiro vamos fazer uma tabela para função g(x)=(1/2)^x

Tal como fizemos no primeiro exercício, vamos inverter os valores de x para y e assim temos a tabela f(x)=log_(1/2) x

Vamos representar esses valores no gráfico e assim termos o gráfico dessa função exponencial

Estudo completo da função

A função tem domínio x ∈ IR⁺ que também pode ser representado como ; ]0,+∞[

Contra domínio

y ∈ IR

Zeros da função

A função tem zero em x=1

Ordenada na origem

A função não possui ordenada na origem

Monotonia ; A função é decrescente

Variação de sinal

]0,1[ positivo

]1,+ ∞[ negativo

Equação da Assinptota

A função tenta a tocar a recta vertical x=0, então diremos que a função tem uma Assimptota vertical x=0

AV; x=0

Representação gráfica da função logarítmica do tipo f(x)=log_a (x+b)

Esse tipo de função é feito a partir da função da translação do gráfico da função g(x)=log_a x

Para fazer o gráfico da função y=log_a (x+b) a partir da função g(x)=log_a x vamos;

– Deslocar b unidades para esquerda se b for positivo

– Deslocar b unidades para directa se b for negativo

A maneira de fazer o estudo completo é a mesma,

A função continua tem domínio Df; x > -b , contradomínio IR, tem zero em x=1 , tem ordenada na origem, e é crescente se a>0 e decrescente se 0<a<1.

Representação gráfica da função logarítmica do tipo f(x)=log_ax+b

O gráfico da função f(x)=log_a x+b é feito a partir da função g(x)=log_a x, recorrendo ao processo de translação.

Para fazer o gráfico da função f(x)=log_a x+b a partir da função g(x)=log_a x vamos;

– Deslocar b unidades para cima( ao logo do eixo x) se b for positivo

– Deslocar b unidades para baixo( ao logo do eixo x) se b for negativo

Exercícios de gráficos de funções logarítmicas usando translação

1.Faca o gráfico da função f(x)=log₂ (x+4) e fazer o estudo completo

Para fazer esse gráfico ( o gráfico da função f(x)=log₂ (x+4) ) primeiro vamos fazer gráfico da função g(x)=log₂ x, e depois transladar 4 unidades para esquerda (ao longo do eixo x).

Gráfico da função g(x)=2^x

Vamos fazer a translação de 4 unidades para esquerda, a função g(x)=2^x tem zero da função 1, para a função f(x)=log₂ (x+4) terá zero em (1-4)=-3 “trasladando quatro unidades para esquerda” ,ao longo de todo gráfico translademos quatro unidades PARA esquerda e desse modo o gráfico da função f(x)=log₂(x+4) é;

Com forme podemos ver no gráfico;

O domínio da função; x ∈ ]-4,+∞[

O contradomínio da função é y ∈ IR

Os zeros; x=-3

Ordenada na origem y=2 (Note que esse tipo de função logarítmica tem ordenada na origem ou seja intercepta o eixo das coordenadas)

A variação de sinal

A função é negativa em x ∈ ]-4,-3[ e positiva em x ∈ ]-3,+∞[

Monotonia; a nossa função logarítmica f(x)=log ₂ (x+4) conforme podemos ver no gráfico ela é crescente

Assimptota; A função tem uma Assimptota Vertical x=-4

Exercícios para praticar