Equações paramétricas

O que é uma Equações paramétricas ?

Denomina-se por equação paramétrica a toda equação quadrática que para alem da incógnita considerada contêm outra variável, denominada parâmetro.

Exemplo:

2X²+3mx + m-1 = 0  esta é uma equação quadrática em ordem a X e tem como parâmetro m, dai denomina-se equação paramétrica .

Tem como coeficientes a = 2,b =3 m, c =m – 1

O objectivo da equaçãoparamétrica é determinar o valor do paramento de modo que a equaçãosatisfaça a condição dada.

Resolução de equações paramétricas

A equação paramétrica pode ser resolvida mediante as três condições:

1ª Δ > 0- para que a equação admita duas raízes distintas ou diferentes  (x₁≠ x₂);

2ªΔ = 0 – para que a equação admita duas raízes iguais ou raiz dupla( x₁ = x₂);

3ª Δ < 0- para que a equação não admita raízes reais.

Lembrando que Δ = b² – 4*a*c

1.Agora vamos tomar o exemplo anterior: X² +3x + m-1 = 0

a)Determine o valor de m de modo que a equação admita duas raízes reais opostas

b)Determine o valor de m de modo que a equação raízes iguais;

c)Determine o valor de m de modo que a equação não admita nenhuma raiz real

Resolução

a)Valor de m de modo que a equação admita duas raízes reais opostas

2X²+ 3x + m-1 = 0

a= 2, b = 3, c = m-1

Como queremos determinar o valor de m de modo que a equação admita duas raízes reais opostas então Δ >0 .

Δ > 0

b² – 4*a*c > 0

3² – 4*2*(m-1) > 0

9 -8*(m-1) > 0

9 – 8m -8 > 0

-8m> 0 – 9 + 8

-8m > – 1

8m < 1

m < 1/8

Nota: a variável é negativa por isso devemos multiplicar toda a equação por (-1) e a desigualdade vai mudar.

• Portanto para que a equação 2X² + 3x + m-1 = 0 admita duas raízes reais opostas o valor de m deve ser menor que 1/8.

b) Valor de m de modo que a equação raízes iguais

2X²+ 3x + m-1 = 0 

a= 2, b = 3, c = m-1

Como queremos determinar o valor de m de modo que a equação admita duas raízes iguais então Δ = 0 .

b² – 4*a*c = 0

3² – 4*2*(m-1) = 0

9 -8*(m-1) = 0

9 – 8m -8 = 0

-8m = 0 – 9 + 8

-8m = – 1

8m = 1

m = 1/8

Portanto para que a equação 2X² + 3x + m-1 = 0 admita duas raízes reais iguais o valor de m deve ser igual a 1/8.

c)Valor de m de modo que a equação não admita nenhuma raiz real

2X²+ 3x + m-1 = 0 

a= 2, b = 3, c = m-1

Como queremos determinar o valor de m de modo que a equação não admita raízes reais então Δ<0 .

b² – 4*a*c< 0

3² – 4*2*(m-1) < 0

9 -8*(m-1) < 0

9 – 8m -8< 0

-8m < 0 – 9 + 8

-8m < – 1

8m > 1

m > 1/8

Portanto para que a equação 2X² + 3x + m-1 = 0 não admita raízes reais o valor de m deve ser maior que 1/8.

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