O que são Inequações logarítmicas
Inequações logarítmicas são inequações onde a variável aparece no dentro de um logaritmo, são exemplos de inequações logaritmos as seguintes;
a)log2 x<log2 2
b)log2 2x<9
c)log2 x<log2 (2x-3)
d)log5(x-2)<log5 x
e)log3(x-3)+log3(x+1)<log3 (x+1)+1
f)log2 (x-4)<log2 2x+log2 (x+2)
Como exercícios de inequações logarítmicas
A resolução de inequações logarítmicas é feita de forma análoga as Inequações exponencial. (Tem em conta a base do logaritmo) que a>1 e 0 < a <1.
Resolução de Inequações logoritmo com base menor que 1. (a > 1)
Quando a base da inequação logarítmica é maior que 1 (a>1) não alteramos o sinal original da inequação ou seja.
loga x >loga y
a>y
Resolução de Inequações logaritmos com base menor que 1 e maior que zero 1. (0<a <1)
loga x >loga y
a<y
“ Quando a base é menor que 1 para resolver a inequação logaritmação devemos mudar de sentido do sinal de comparação se for > passa a ser < , se for ≤ mudamos para ≥ e vice versa.”
Porque em uma inequação logaritmo quando 0 < a <1 invertemos o sentido
A explicação para essa pergunta é a mesma que demos nas quando vimos inequações exponenciais. Ou seja deve-se ao facto de uma função logaritmo com base maior que zero e menor que 1 , ser uma função decrescente.
NOTA ; Ao resolver inequações logaritmos temos que ter sempre em conta o domínio de existência da expressão logaritmo que é o logaritmação e a base devem ser sempre positivo.
Resoluções de inequações logarítmicas
a)log5(2x-3) < log5x
Resolução
log5(2x-3) < log5x
2x-3< x
2x-x < 3
x < 3
b)Encontre a solução da inequação logarítmicas log2(x-1) > 2
Resolução
Log2(x-1) > 3
Nesse exercício de inequação logarítmicas só temos logaritmo em apenas um membro, temos que arranjar formas de termos logaritmo em ambos membros (com a mesma base), para isso vamos recorrer as propriedades de logaritmo sabemos que loga an =n, então ; 3=log2 23 substituindo três por essa expressão de logaritmo já teremos logaritmo em ambos membros, e dai já podemos resolver facilmente.
log2 (x-1) >log2 23
Dominio x-1 >0
x >1
Agora vamos resolver a equação
log2 (x-1) > log2 8
x-1> 8
x > 8+1
x > 9
c) log2 (x-7)+ log2 x ≥ 3
Primeiramente vamos calcular o domínio
x-7 > 0 e x > 0
x >7
A solução que nos formos a encontrar deve estar dentro do domínio
Resolução
log2(x-7)+ log2x ≥ 3
log2(x-7) x ≥ log2 23
log2(x2-7x) ≥ log2 8
x2-7x ≥ 8
x2-7x-8≥ 0
Agora estamos diante de uma inequação quadrática vamos resolver usando o método gráfico, primeiro vamos achar as raízes da equação quererão, x1=8 e x2=-1, agora vamos esboçar o gráfico dessa função quadrática e achar a solução (que será onde for maior ou igual que zero).

Notamos claramente que é maior que zero de ]- ∞,-1]U[8,+ ∞[
Agora vamos analisar se toda essa solução esta dentro do domínio

A solução da equação log2(x-7)+ log2x ≥ 3 é [8,+ ∞[
d) Qual é a solução da inequação log3 (x2-1) ≤ 1
Resolução
log3 (x2-1) ≤ 1
Primeiro vamos calcular o domínio
x2-1>0 Vamos analisar no gráfico y=x2-1 onde se menor que zero

Agora vamos resolver a inequação;
log3 (x2-1) ≤ 1
log3 (x2-1) ≤ log3 3
x2-1 ≤ 3
x2-4 ≤ 0
x2-4=0
x=±2 vamos analisar no gráfico y=x2-4 onde se menor que zero

Vamos representar o domínio e a solução no mesmo sistema

Sol. x є [-2,-1[ U]1,2[
Exercícios sobre Inequações logarítmicas para praticar
Calcule a solução das seguintes Inequações logarítmicas
a)log7(x-3) < log7 (-4x+7)
b)log3(2x-4) > 2
c)log2 (x2-9) ≤ 4
d)log2 (x-7)+ 2 ≥ log2 x + log2 (x-3)