Inequações logarítmicas

O que são Inequações logarítmicas

Inequações logarítmicas são inequações onde a variável aparece no dentro de um logaritmo, são exemplos de inequações logaritmos as seguintes;

a)log₂⁡ x<log₂⁡ 2

b)log₂ 2x<9

c)log₂ x<log₂⁡ (2x-3)

d)log₅⁡(x-2)<log₅ ⁡x

e)log₃(x-3)+log₃^⁡(x+1)<log₃ ⁡(x+1)+1

f)log₂⁡ (x-4)<log₂ 2x+log₂ (x+2)

Como exercícios de inequações logarítmicas

A resolução de inequações logarítmicas é feita de forma análoga as Inequações exponencial. (Tem em conta a base do logaritmo) que a>1 e 0 < a <1.

Resolução de Inequações logoritmo com base menor que 1. (a > 1)

Quando a base da inequação logarítmica é maior que 1 (a>1) não alteramos o sinal original da inequação ou seja.

log_a x >log_a y

a>y

Resolução de Inequações logaritmos com base menor que 1 e maior que zero 1. (0<a <1)

log_a x >log_a y

a<y

“ Quando a base é menor que 1 para resolver a inequação logaritmação devemos mudar de sentido do sinal de comparação se for > passa a ser < , se for ≤ mudamos para ≥ e vice versa.”

Porque em uma inequação logaritmo quando 0 < a <1 invertemos o sentido

A explicação para essa pergunta é a mesma que demos nas quando vimos inequações exponenciais. Ou seja deve-se ao facto de uma função logaritmo com base maior que zero e menor que 1 , ser uma função decrescente.

NOTA ; Ao resolver inequações logaritmos temos que ter sempre em conta o domínio de existência da expressão logaritmo que é o logaritmação e a base devem ser sempre positivo.

Resoluções de inequações logarítmicas

a)log₅(2x-3) < log₅x

Resolução

log₅(2x-3) < log₅x

2x-3< x

2x-x < 3

x < 3

b)Encontre a solução da inequação logarítmicas log₂(x-1) > 2

Resolução

Log₂(x-1) > 3

Nesse exercício de inequação logarítmicas só temos logaritmo em apenas um membro, temos que arranjar formas de termos logaritmo em ambos membros (com a mesma base), para isso vamos recorrer as propriedades de logaritmo sabemos que log_a aⁿ =n, então ; 3=log₂ 2³ substituindo três por essa expressão de logaritmo já teremos logaritmo em ambos membros, e dai já podemos resolver facilmente.

log₂ (x-1) >log₂ 2³

Dominio x-1 >0

x >1

Agora vamos resolver a equação

log₂ (x-1) > log₂ 8

x-1> 8

x > 8+1

x > 9

c) log₂ (x-7)+ log₂ x ≥ 3

Primeiramente vamos calcular o domínio

x-7 > 0 e x > 0

x >7

A solução que nos formos a encontrar deve estar dentro do domínio

Resolução

log2(x-7)+ log2x ≥ 3

log2(x-7) x ≥ log₂ 2³

log₂(x²-7x) ≥ log₂ 8

x²-7x ≥ 8

x²-7x-8≥ 0

Agora estamos diante de uma inequação quadrática vamos resolver usando o método gráfico, primeiro vamos achar as raízes da equação quererão, x₁=8 e x₂=-1, agora vamos esboçar o gráfico dessa função quadrática e achar a solução (que será onde for maior ou igual que zero).

Notamos claramente que é maior que zero de ]- ∞,-1]U[8,+ ∞[

Agora vamos analisar se toda essa solução esta dentro do domínio

A solução da equação log2(x-7)+ log2x ≥ 3 é [8,+ ∞[

d) Qual é a solução da inequação  log₃ (x²-1) ≤ 1

Resolução

log₃ (x²-1) ≤ 1

Primeiro vamos calcular o domínio

x²-1>0 Vamos analisar no gráfico y=x²-1 onde se menor que zero

Agora vamos resolver a inequação;

log₃ (x²-1) ≤ 1

log₃ (x²-1) ≤ log₃ 3

x²-1 ≤ 3

x²-4 ≤ 0

x²-4=0

x=±2 vamos analisar no gráfico y=x²-4 onde se menor que zero

Vamos representar o domínio e a solução no mesmo sistema

Sol. x є [-2,-1[ U]1,2[   

Exercícios sobre Inequações logarítmicas para praticar

Calcule a solução das seguintes Inequações logarítmicas

a)log₇(x-3) < log₇ (-4x+7)

b)log₃(2x-4) > 2

c)log₂ (x²-9) ≤ 4

d)log₂ (x-7)+ 2 ≥ log₂ x + log₂ (x-3)

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