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Inequações quadráticas

Inequações quadráticas são inequações do segundo grão, ou seja:

Inequações quadráticas são inequações do tipo ax²+bx+c≥0 ou ax²+bx+c≤0 

Onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero

Exemplos de inequações quadráticas

a)2x²-x+4≥0

b)x²-3x >0

c)x²<0

d)x²-8> 0

Métodos de resolução de uma inequação quadrática

ax²+bx+c≥0

Nesse artigo iremos ver a resolução de Inequações quadráticas usando:

Método gráfico;

Método analítico (usando tabela para estudar o sinal).

Resolução de Inequações quadráticas usando método gráfico;

ax²+bx+c≥0

Para a resolução de uma inequação quadrática usamos os seguintes:

* Fazemos f(x)=ax²+bx+c=0 

* De Seguida calculamos os valos de x1 e x2

* Fazemos um esboço de f(x)

* Por fim analisar onde f(x) ≥0 (conforme o enunciado)

Exemplo de resolução de inequações quadráticas usando o método gráfico

(queremos onde é menor que zero “Onde é negativo”)

R:[-2;2]

R:[4;5]

Resolução de Inequações quadráticas usando método analítico (usando tabela para estudar o sinal).

Para a resolução de uma inequação quadrática usando o método de tabela primeiro;

* Fazemos a fautorizar a expressão  

* De Seguida fazemos a tabela

x-∞ x1 x2 +∞
a(x-x1) S1 S11 S111 
(x-x2) S2 S22 S211 
P S’ S’’ S’’’ 


Nota: Ondetem S vamos analisar o sinal no intervalo dado

 Exemplo de resolução de inequações quadráticas usando o método analítico

Vamos construir a tabela para resolver a inequação

x-∞ 0 2 +∞
2x       
x-2       
P       

Para preencher a tabela :

Vamos escolher um numero no intervalo ] -∞ : 0[ Escolheremos -3  (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

2x=2•(-3)=-6 (O sinal desse numero é negativo)

x-2=-3-2=-5 (O sinal desse numero é negativo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (-×-=+) “P tem sinal positivo nesse intervalo”

x-∞ 0 2 +∞
2x      
x-2      
P +     

 Vamos escolher um numero de menos ] 0 : 2[  Escolheremos 1  (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

2x=2•1=2 (O sinal desse numero é positivo)  

x-2=1-2=-1 (O sinal desse numero é negativo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (+) × (-)=- “P tem sinal negativo nesse intervalo”

x-∞ 0 2 +∞
2x  +   
x-2     
P +    

Vamos escolher um numero de menos ] 2 : +∞ [  Escolheremos 4  (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

2x=2•4=8 (O sinal é positivo)

x-2=4-2=2 (O sinal é positivo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (+) × (+)=+ “P tem sinal positivo nesse intervalo

x-∞ 0 2 +∞
2x  +  +
x-2    +
P +   +

Sol: ]- ∞;0[U]2;+ ∞[
 Olhado para nossa inequação “2x(x-2)  >0”queremos onde (P) é maior que zero ou seja queremos onde é positivo Olhando a tabela podemos ver facilmente que (P) é positivo no intervalo de :]- ∞;0[U]2;+ ∞[

Sol: ]- ∞;0[U]2;+ ∞[

x-∞ -√3 √3 +∞
-2(x+√3)       
(x-√3)       
P       

Para preencher a tabela :

Vamos escolher um numero de menos ] -∞ : -√3[ .Escolheremos -100 (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

-2(x+√3)= -2(-100+√3)= 200-2√3 (O sinal desse numero é positivo)

(x-√3)= -100-√3  (O sinal desse numero é negativo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (+)×(-)=- “P tem sinal negativo nesse intervalo”

x-∞ -√3 √3 +∞
-2(x+√3) +     
(x-√3)      
P      

 Vamos escolher um numero no intervalo ] -√3 : √3 [ .Escolheremos 0 (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

-2(x+√3)= -2(0+√3)= -2√3 (O sinal desse numero é negativo)

(x-√3)= 0-√3=-√3  (O sinal desse numero é negativo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (-)×(-)=+ “P tem sinal positivo nesse intervalo”

x-∞ -√3 √3 +∞
-2(x+√3) +    
(x-√3)     
P  +   

Vamos escolher um numero no intervalo ] √3 : +∞ [ .Escolheremos 5 (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

-2(x+√3)= -2(5+√3)= -10-2√3 (O sinal desse numero é negativo)

(x-√3)= 5-√3  (O sinal desse numero é positivo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (-)×(+)=- “P tem sinal negativo nesse intervalo”

x-∞ -√3 √3 +∞
-2(x+√3) +  _ 
(x-√3)   + 
P  +  

Olhado para nossa inequação “-2(x+√3)(x-√3)≥0”queremos onde (P) é maior ou igual a zero ou seja queremos onde é positivo incluindo onde é zero Olhando a tabela podemos ver facilmente que (P) é positivo no intervalo de :[-√3;√3]

Sol :[-√3;√3]

-(x+6)(x-1)≤0

x-∞ -6 1 +∞
-(x+6)       
x-1       
P       

Para preencher a tabela :

Vamos escolher um numero no intervalo ] -∞ : -6 [ .Escolheremos -10 (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

-(x+6)= -(-10+6)=10-6=4 (O sinal desse numero é positivo)

(x-1)= -10-1=-11  (O sinal desse numero é negativo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (+)×(-)=- “P tem sinal negativo nesse intervalo”

x-∞ -6 1 +∞
-(x+6) +     
x-1      
P      

Vamos escolher um numero no intervalo] -6 : 1 [ .Escolheremos 0 (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

-(x+6)= -(0+6)=-6 (O sinal desse numero é Negativo)

(x-1)= 0-1=-1  (O sinal desse numero é negativo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (-)×(-)=- “P tem sinal positivo nesse intervalo”

x-∞ -6 1 +∞
-(x+6) +    
x-1     
P  +   

Vamos escolher um numero no intervalo] 1 : ∞ [ .Escolheremos 3 (podes escolher outro desde que esteja no intervalo)

-(x+6)= -(3+6)=-9 (O sinal desse numero é Negativo)

(x-1)= 3-1=2  (O sinal desse numero é Positivo)

O Sinal de P será o produto entre os dois sinais (-)×(+)=- “P tem sinal negativo nesse intervalo”

x-∞ -6 1 +∞
-(x+6) +  _ 
x-1   + 
P  +  

 Olhado para nossa inequação “-(x+6)(x-1)≤0”queremos onde (P) é menor ou igual a zero ou seja queremos onde é negativo incluindo onde é zero(Onde não é negativo) Olhando a tabela podemos ver facilmente que (P) não é negativo no intervalo de :]- ∞;-6]U[1;+ ∞[

Sol:]- ∞;-6]U[1;+ ∞[


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