Generalidades em equações paramétricas

Generalidades em equações paramétricas

Podemos ter casos complexos em que o parâmetro se transforme numa equação quadrática como por exemplo: 3 x² +(k+2) x + k-1 = 0

a)Determine o valor de k de modo que o produto das raízes seja igual a 2/3;

b)Determine o valor de k de modo que a soma das raízes seja igual a 5

c)Determine o valor de k de modo que a equação admita duas raízes distintas.

d)Determine o valor de k de modo que a equação admita duas raízes iguais.

e)Determine o valor de k de modo que a equação não admita raízes reais.

Resolução

3 x² +(k+2) x + k-1 = 0

a = 3, b = k+2, c = k-1

Como queremos determine o valor de k de modo que o produto das raízes seja igual a 2/3 então P = 2/3

Lembrando que 😛 = -C/a

Para que o produto das raízes da equação 3 x² +(k+2) x + k-1 = 0 seja igual 2/3 o valor de k deve ser igual a 3.

b)

Resolução

3 x² +(k+2) x + k-1 = 0

a = 3, b = k+2, c = k-1

Como queremos determine o valor de k de modo que a soma das raízes seja igual a -5/3 entao S = -5/3

Lembrando que : S = -b/a

Para que a soma das raízes da equação 3 x² +(k+2) x + k-1 = 0 seja igual -5/3 o valor de k deve ser igual a 3.

c)

Resolução

3 x² +(k+2) x + k-1 = 0

a = 3, b = k+2, c = k-1

Como queremos determine o valor de k de modo quea equação admita duas raízes distintas então Δ > 0

Δ> 0

b² – 4*a*c > 0

(k+2)² -4*3*(K-1) > 0

K²+4k+4 -12*(k-1) > 0

K²+4k+4-12k+12>0

K²-8k+16 > 0

a =1, b = -8, c = 16

Uma vez que toda a parábola esta acima da recta ou seja todo gráfico é positivo e nós queremos onde K²-8k+16> 0 ou seja onde é positiva e notamos que o nosso gráfico toda ela é positiva então a solução é k  ]- ∞;4[U]4;+∞[. Portantopara que a equação 3x² +(k+2)x + k-1 = 0 admita duas raízes distintas o valor de k deve pertencer  ]- ∞; 4 [ U ] 4 ; + ∞ [.

Ou seja para todos valores de R a equação admitira raízes reais distintas.

d)

Resolução

3 x² +(k+2) x + k-1 = 0

a = 3, b = k+2, c = k-1

Como queremos determine o valor de k de modo quea equação admita raízes duplas então Δ = 0

b² – 4*a*c = 0

(k+2)² -4*3*(K-1) = 0

K²+4k+4 -12*(k-1) = 0

K² + 4k + 4 – 12k + 12 = 0

K² – 8k + 16 = 0

a =1, b = -8, c = 16

Uma vez que queremos onde K²-8k+16 = 0 ou seja os valores de K que vão anular esta equação ou ainda as raízes da equação e verificamos que isso acontece somente em k = 4.  Portanto para que a equação 3x² +(k+2)x + k-1 = 0 admita duas raízes iguais o valor de k  deve ser igual a 4.

e)

Resolução

3 x² +(k+2) x + k-1 = 0

a = 3, b = k+2, c = k-1

Como queremos determine o valor de k de modo quea equação não admita raízes reais então Δ <0

b² – 4*a*c<0

(k+2)² -4*3*(K-1) < 0

K²+4k+4 -12*(k-1) < 0

K² + 4k + 4 – 12k + 12 <0

K²– 8k + 16 < 0

a =1, b = -8, c = 16

Uma vez que toda a parábola esta acima da recta ou seja todo gráfico é positivo e nós queremos onde K²-8k+16< 0 ou seja onde é negativa  e notamos que o nosso gráfico toda ela é positiva e em nenhum momento é negativa  então a solução é k pertence ao conjunto vazio .    

Portanto a equação 3x² +(k+2)x + k-1 = 0 não admita  raízes não reais. Ou seja para todos valores de R a equação admitira raízes reais.

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