Lógica Matemática ( operações lógicas e proposições)

Lógica Matemática

A lógica matemática estuda o raciocínio matemático

Valor lógico

Os valores lógicos são verdadeiro e falso (V e F)

O que é uma preposição?

Uma preposição é uma expressão lógica que pode ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso)

Exemplo de preposição

• 2+3=5

• 3>4

• 2³=8

• 2=6

Note que em todos as expressões é possível atribuir um valor lógico (dizer se é verdadeiro ou falso) 

Quando é que duas preposições são equivalentes ?

Duas preposições são equivalentes se tiverem o mesmo valor lógico.

Designação

O que é uma designação?

Designação é uma expressão com significado que designa um objecto.

Exemplos de designação

• Matemática

• lógica

• 2+3

• 7

Operações lógicas

As principais operações lógicas são ;

• Conjunção

• Disjunção

• Implicação

• Equivalência

Conjunção

Na conjunção de duas preposições é verdadeira se as duas preposições forem verdadeiras.

-A conjunção de representa-se por “ᴧ” e lese por “e”.

p	q	pᴧq
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Na conjunção é aplicável a propriedade comutativa

• pᴧq= qᴧp

Na conjunção o valor lógico V é elemento Neutro e F é elemento Absorvente.

• Vᴧq=q

• Fᴧq=F

Disjunção

Na disjunção de duas preposições é verdadeira se pelo menos uma das preposições forem verdadeiras.

-A disjunção de representa-se por “ᴠ” e lese por “ou”.

p	q	pᴠq
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Na disjunção é aplicável a propriedade comutativa

• pᴠq= qᴠp

Na disjunção o valor lógico V é elemento Absorveste e F é elemento Neutro.

• Vᴠq=V

• ᴠq=q

Implicação

Na Implicação de duas preposições é falsa se a primeira preposição for verdadeira e a segunda for falsa.

-A Implicação de representa-se por “→” e lese por “então”.

P	q	P → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Na Implicação de duas ou mais preposições não é aplicável a propriedade comutativa

• p→q ≠ q→p

Na Implicação basta que a primeira preposição é ser falsa significa que a preposição é verdadeira.  

• F→q=V

Se a primeira preposição for verdadeira a expressão tomará o valor lógico da segunda preposição

• V→q=q

Equivalência

Na equivalência de duas preposições é verdadeira se as duas preposições tiverem o mesmo valor lógico.

-A equivalência de representa-se por “↔” e lese por “Se somente se”.

P	q	P ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Na equivalência é aplicável a propriedade comutativa

• p↔q= q↔p

Na equivalência o valor lógico V é elemento Neutro. Se uma das preposições for falsa o valor lógico da expressão será o negado da outro expressão e as preposições tiverem o mesmo valor lógico a preposição será verdadeira.

• V↔q=q

• F↔q= ~ q

• p↔p=V

Negação de preposições

Negar que uma preposição é falsa significa assumir que a preposição é verdadeira e negar que uma preposição é verdadeira significa assumir que a preposição é falsa

P	~P
V	F
F	V

Negação de operação lógicas

Lei de Morgan

Negação de uma conjunção

Para fazemos a negação da conjunção da preposição “pᴧq” negamos a primeira preposição (p) “sua negação é ~p” e transformamos ᴧ em ᴠ e negamos a segunda preposição q “sua negação é ~q”.

•  ~(pᴧq)=~pᴠ~q

Negação de uma disjunção

Para fazemos a negação da disjunção da preposição “pᴠq” negamos a primeira preposição (p) “sua negação é ~p” e transformamos ᴠ em ᴧ e negamos a segunda preposição q “sua negação é ~q”.

• ~(pᴠq)=~pᴧ~q

Negação de uma Implicação

Para fazer a negação de uma implicação devemos conhecer as seguinte propriedade lógica;

p→q=~pᴠq

Que podemos demonstrar a partir da seguinte tabela de verdade

P	q	~p	p→q	~pᴠq
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Agora que já conhecemos a propriedade “p→q=~pᴠq“ podemos fazer a negação da implicação primeiro transformado a preposição p→q em ~pᴠq e de seguida aplicar as leis de Morgan;

• ~(p→q)=~(~pᴠq)=~~pᴧq=pᴧ~q

Veja mais uma de nossas aulas

• Teoria de conjuntos

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• Teorema de Pitágoras

• Calculo de Limites

• Calculo de Derivadas