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Trigonometria no triângulo rectângulo

Trigonometria no triângulo rectângulo e Identidade trigonométrica fundamental

Para estudamos e compreendermos as relações trigonométricas no triângulo, vamos desenhar a um triângulo.

O lado a chamaremos de cateto adjacente ao ângulo (x)

O lado b chamaremos de cateto oposto ao ângulo (x)

O lado c chamaremos de hipotenusa

Relações trigonométricas no triângulo rectângulo

*Seno do ângulo x representa a razão entre o cateto oposto (b) e a hipotenusa (c) ;

*Cosseno do ângulo x representa a razão entre o cateto adjacente (a) e a hipotenusa (c) ;

*Tangente do ângulo x representa a razão entre o cateto oposto (b) e o cateto adjacente (a);

*Co-tangente do ângulo x representa a razão entre o cateto adjacente (a) e o cateto oposto (b);

Identidade trigonométrico fundamental

Demonstração de identidade trigonométrica fundamental

Visto que temos um triângulo rectângulo podemos escrever então é valido o teorema de Pitágoras

a²+b²=c²

Vamos dividir ambos membros por “c²”

No primeiro membro vamos colocar o numerador e denominador na mesma potencia, e no e no segundo membro temos pois c²/ c²=1.

Vimos que cos(x)=a/c e sen(x)=b/c então temos;
cos²(x)+sen²(x)=1

Essa equação é chamado de identidade trigonométrico fundamental

cos²(x)+sen²(x)=1

A identidade trigonométrica tem muita aplicação em diverso ramos da matemática e não só.

Exercícios resolvidos sobre trigonometria no triângulo

1.Para a figura abaixo determine o valor de cos(x); sen(x) e tag(x)

A figura é um triangulo rectângulo e o lado x representa a hipotenusa portado pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras.

Dados

b=3cm

a=4cm

Formula

cos(x)=c/a

O valor achar o valor de “c” usaremos o teorema de Pitágoras;

c²=a²+b²

c²=3²+4²

c²=9+16

c²=25

c=5

Agora tenho todos os valores do lado triângulo podemos facilmente calcular os valores desejada.

* cos(x) é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa no nosso triângulo o cateto adjacente é “a” e a hipotenusa é “c”então cos(x) será;

cos(x)=a/c=4/5

* sen(x) é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa no nosso triângulo o cateto oposto é “b” e a hipotenusa é “c” então sen(x) será calculado como;

sen(x)=b/c=3/5

* tan(x) é a razão entre o cateto oposto e o cateto oposto no nosso exercício olhado o triângulo podemos ver que o cateto oposto é “b” e o cateto adjacente é “a” então tan(x) será encontrado a partir dessa razão;

tan(x)=b/a=3/4

Resposta; Os valores são; cos(x)=4/5 ; sen(x)=3/5 ;tan(x)=3/4

Teorema de Pitágoras

2.Encontre os valores de h e b

Dados

h=?

b=?

c=6cm

A medida de h pode ser determinada recorrendo a função trigonométrica seno uma vez que temos a hipotenusa e o ângulo.

A medida de b (por se tratar do cateto adjacente) pode ser determinada recorrendo a função trigonométrica cosseno uma vez que temos a hipotenusa e o ângulo.

Observação; poderíamos também determinar a medida de b recorrendo ao teorema de Pitágoras.

3. Calcule a medida da altura do triângulo ADC de h

Vamos desenhar o triângulo com um ângulo oposto a altura que chamaremos de ß

Para o triângulo AEB tanβ corresponde a razão entre BE e AB;

Para o triângulo ADC tanβ corresponde a razão entre CD e AC;

O beta (β ) é o mesmo nas duas equações então vamos igualar as duas equações temos e calcular o valor da altura;

A medida de h é 10m    

4.Calcule a altura da casa utilizando os conhecimentos de trigonometria

Dados

A altura da casa representa a media de AB, e este corresponde ao cateto oposto do triângulo ABC, e como temos o cateto adjacente e o ângulo podemos determinar a medida dessa altura usando a função tangente

h=AB=?

AC=4m

α =30˚

A altura da casa é de 4√3 m

já que temos a função seno para determinar o valor de cosseno podemos usar a identidade trigonométrica fundamental;

Nota; só de conhecermos o valor de sen(x) , a partir da identidade trigonométrica já é possível achar o valor de; cos(x); tan(x) e ctg(x).

Exercícios sobre trigonometria no triângulo para praticar

1.Para a figura abaixo determine o valor de cos(x); sen(x) e tag(x)

2. Encontre os valores das medias da altura e da hipotenusa.

3.Sabendo que o valor de sen(x) é 0,8 entre o valor de cos(x)

4.Calcule a altura da casa utilizando os conhecimentos de trigonometria

5. Em um triângulo ABC sabe se que a medida de AB é 25cm e o ângulo  vale 30˚ determine a medida da altura desse triângulo.

Para terminar veja mais uma aula;

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