Teoremas de integrais de contorno
Teorema 1. Integral de Cauchy
Seja uma função f(z) analítica numa região conexa R e seja г um contorno fechado simples, todo contido em R.
Teorema 2. Formula de integral de Cauchy
Seja uma função f(z) analítica em todos pontos contidos em um contorno г , e z₀ um ponto também contido no contorno г ;
Teorema 3. integral de contorno
Sendo f(z) uma função analítica em todos pontos situados no interior de um contorno fechado simples , f(z) possui derivadas de todas ordens em qualquer ponto z₀ interior a г e pode ser encontrado a partir de;
Podemos isolar a integral, e fazendo isto temos;
Exercícios resolvidos sobre integral de contorno (variável complexa)
Calcule a integral de;
Nesse caso o nosso f(z) é z²+3 e de acordo com a formula de Cauchy essa integral da zero
2.Integrais de contorno Exercício #2 Calcule a integral
Comparando a nossa forma com a forma da integral de Cauchy podemos notar que;
3.Integrais de contorno Exercício #3 Calcule a integral de Cauchy
Vamos desenhar a região
Comparando a nossa forma com a forma da integral de Cauchy podemos notar que;
4.Integrais de contorno Exercício #4 Calcule a integral de Cauchy;
Primeiro vamos representar o contorno
Comparando a nossa forma com a forma da integral de Cauchy podemos notar que;
Vamos calcular a primeira integral
Vamos agora calcular a segunda integral
Vamos somas os resultados da integral 1 e 2 de modo a encontrar o resultado final da nossa integral de contorno.
5.Integrais de contorno Exercício #5 Calcule a integral de Cauchy
vamos desenhar a região
Vamos evidenciar o dois no denominador
Vamos fazer algumas articulações de modo a termos uma expressão idêntica a da integra de Cauchy (passar o dois para o numerador da expressão principal)
Vamos calcular a primeira integral
Vamos agora calcular a segunda integral
Vamos somas os resultados da integral 1 e integral 2 para achar resultado final da nossa integral.
Calcule a integral
Comparando a nossa forma com a forma da integral de Cauchy podemos notar que;
Comparando com o terceiro teorema da integral de Cauchy podemos concluir que;
n=2 ,z₀=1, f(x)=zsen(z)
f(z)=sen(z)
f'(z)=cos(z)
f” (z)=-sen(z)
f”(z₀ )=f”(1)=-sen(1)
Vamos substituir esses resultados na nossa expressão da integral de modo a obter o resultados.
Calcule a integral com г ; |z+2|=9
Comparando a nossa forma com a forma da integral de Cauchy podemos notar que;
Vamos achar os zeros do denominador e representar a região(z-4)z²=0
z-4=0 ou z²=0
z=4 ou z=0
Como temos dois zeros Vamos dividir a região em duas partes
Agora vamos calcular a integral da primeira região
Agora vamos substituir esses resultados na expressão da nossa integral 1.
Vamos agora achar a Integral da segunda região
Agora vamos substituir esses resultados na expressão da nossa integral 2.
Para achar o resultado da nossa integral vamos somas os resultados da integral 1 e 2.
Exercícios para praticar integrais de contorno
Calcule as seguintes integrais
Veja a aula mais uma aula
👉Números complexos
👉 Função analítica (função de variável complexa)
→Classificaçãode uma equação diferencial
→Equação diferencial com variáveis separáveis