Generalidades em equações paramétricas
Podemos ter casos complexos em que o parâmetro se transforme numa equação quadrática como por exemplo: 3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0
a)Determine o valor de k de modo que o produto das raízes seja igual a 2/3;
b)Determine o valor de k de modo que a soma das raízes seja igual a 5
c)Determine o valor de k de modo que a equação admita duas raízes distintas.
d)Determine o valor de k de modo que a equação admita duas raízes iguais.
e)Determine o valor de k de modo que a equação não admita raízes reais.
Resolução
3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0
a = 3, b = k+2, c = k-1
Como queremos determine o valor de k de modo que o produto das raízes seja igual a 2/3 então P = 2/3
Lembrando que 😛 = -C/a
Para que o produto das raízes da equação 3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0 seja igual 2/3 o valor de k deve ser igual a 3.
b)
Resolução
3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0
a = 3, b = k+2, c = k-1
Como queremos determine o valor de k de modo que a soma das raízes seja igual a -5/3 entao S = -5/3
Lembrando que : S = -b/a
Para que a soma das raízes da equação 3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0 seja igual -5/3 o valor de k deve ser igual a 3.
c)
Resolução
3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0
a = 3, b = k+2, c = k-1
Como queremos determine o valor de k de modo quea equação admita duas raízes distintas então Δ > 0
Δ> 0
b2 – 4*a*c > 0
(k+2)2 -4*3*(K-1) > 0
K2+4k+4 -12*(k-1) > 0
K2+4k+4-12k+12>0
K2-8k+16 > 0
a =1, b = -8, c = 16
Uma vez que toda a parábola esta acima da recta ou seja todo gráfico é positivo e nós queremos onde K2-8k+16> 0 ou seja onde é positiva e notamos que o nosso gráfico toda ela é positiva então a solução é k ]- ∞;4[U]4;+∞[. Portantopara que a equação 3x2 +(k+2)x + k-1 = 0 admita duas raízes distintas o valor de k deve pertencer ]- ∞; 4 [ U ] 4 ; + ∞ [.
Ou seja para todos valores de R a equação admitira raízes reais distintas.
d)
Resolução
3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0
a = 3, b = k+2, c = k-1
Como queremos determine o valor de k de modo quea equação admita raízes duplas então Δ = 0
b2 – 4*a*c = 0
(k+2)2 -4*3*(K-1) = 0
K2+4k+4 -12*(k-1) = 0
K2 + 4k + 4 – 12k + 12 = 0
K2 – 8k + 16 = 0
a =1, b = -8, c = 16
Uma vez que queremos onde K2-8k+16 = 0 ou seja os valores de K que vão anular esta equação ou ainda as raízes da equação e verificamos que isso acontece somente em k = 4. Portanto para que a equação 3x2 +(k+2)x + k-1 = 0 admita duas raízes iguais o valor de k deve ser igual a 4.
e)
Resolução
3 x2 +(k+2) x + k-1 = 0
a = 3, b = k+2, c = k-1
Como queremos determine o valor de k de modo quea equação não admita raízes reais então Δ <0
b2 – 4*a*c<0
(k+2)2 -4*3*(K-1) < 0
K2+4k+4 -12*(k-1) < 0
K2 + 4k + 4 – 12k + 12 <0
K2– 8k + 16 < 0
a =1, b = -8, c = 16
Uma vez que toda a parábola esta acima da recta ou seja todo gráfico é positivo e nós queremos onde K2-8k+16< 0 ou seja onde é negativa e notamos que o nosso gráfico toda ela é positiva e em nenhum momento é negativa então a solução é k pertence ao conjunto vazio .
Portanto a equação 3x2 +(k+2)x + k-1 = 0 não admita raízes não reais. Ou seja para todos valores de R a equação admitira raízes reais.
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