Função Analítica (função de variável complexa)

Função analítica 

Seja uma função complexa f(z) talque;

f(z)=u+iv onde u=u(x,y) e é a parte real da função f(z) e v=(x,y) e  é a parte imaginaria de f(z).

Dissemos que f(z) é analítica se ela satisfaz as condições de Cauchy que são;

* Uma função analítica em uma região R possui as derivadas em R e estas por sua vez são analíticas.

Exercícios resolvidos sobre função analítica 

a) Verifique se a função f(z)=z+1 é analítica

f(z)=z+1

f(z)=x+iy+1

f(z)=x+1+iy

u=x+1

v=y

Vamos verificar se a função satisfaz as condições de Cauchy

Vamos calcular essas derivadas e verificar se elas são iguais

A primeira condição de Cauchy esta verificada

A gora vamos verificar se a segunda condição também se verifica

A segunda condição também esta verificada então

Como a função satisfaz as duas condições para que seja analítica então

f(z)=z+1 é analítica

b) Verifique se a função é analítica

f(z)=zž+2z

Vamos fazer z=x+yi então ž=x-yi

f(z)=(x+yi)(x-yi)+2(x+yi)

f(z)=(x+yi)(x-yi)+2x+2yi

f(z)=x²-(iy)²+ 2x+2yi

f(z)=x²+y²+ 2x+2yi

u= x²+y²+ 2x

v=2y

Vamos verificar se a função satisfaz as condições de Cauchy

Vamos calcular essas derivadas e verificar se elas são iguais

Como a condição de Cauchy não se verifica a função f(z) não  é analítica

c) Verifique se a função é analítica

Vamos verificar se a função satisfaz as condições de Cauchy

Vamos calcular essas derivadas e verificar se elas são iguais

Podemos notar que;

Como a condição de Cauchy não se verifica a função f(z) não  é analítica

Exercícios para praticar função analítica 

a) Verifique se a função f(z)=z³+|z|+z é analítica

b) A função f(z) é analítica ? Justifique por meio de um cálculo.

c) Verifique se a função f(z) é analítica ou não

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