Início » Aulas » Progressão geométrica (PG)

Progressão geométrica (PG)


Progressão geométrica é um tipo de sucessão em que a razão entre os termos consecutivos é constante.

Exemplo de progressão geométrica.

Ex1: an = (2,4,8,16,32…)

Conforme vermos a razão entre os termos consecutivos é constante.

Ex2; vn = (25,125,625,3125 …)

Conforme vermos a razão entre os termos consecutivos é constante.

Mais exemplos de progressão geométrica

Ex3; in = (2,6,18,54,162…) a razão é 3 (r=3)

Ex4; un = (1,10,100,1000,1000 …) a razão é 10 (r=10)

Exercidos de aplicação

1.Sabendo que a sequência 3, a2 , 75 é uma progressão geométrica crescente determine o valor de a2,

Resolução

Como a é uma progressão geométrica a razão entre os termos consecutivos será constante ou seja;

Termo geral de uma progressão geométrica

Em geram uma sucessão é dada na forma an = (a1, a2, a3, a4 …)

Como a sucessão e uma PG então

Então na PG

a1 = a1

a2= a1 • r

a3= a1 • r2

a4= a1 • r3

a5= a1 • r4

an= a1 • r(n-1)

Conforme vimos o termo geral de uma progressão geométrica é;

an= a1 • r(n-1)

Exercício de aplicação

2. Dada a progressão an = (6, 18,54,162…) Determine;

a) O termo geral sucessão

b) O sétimo termo da sucessão?

Resolução

a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente

an= a1 • r(n-1)

Podemos ver na sucessão que ;

a1=6 e r=3

Então o termo geral da sucessão é ;

an= 6 • 3(n-1)

b) O sétimo termo da sucessão é obtido pela forma do termo geral

an= 6 • 3(n-1)

a7= 6 • 3(7-1)

a7= 6 • 36

a7= 6 • 729

a7=4374

3. Numa progressão geométrica sabe se que a5=64 e que a8=512

a) Qual é o termo geral sucessão dessa progressão

b) Qual é o décimo quinto termo dessa progressão geométrica?

Resolução

a)A partir da forma do termo geral de uma (PG) que é an= a1 • r(n-1)

a5= a1 • r(5-1) e a8= a1 • r(8-1)

a5= a1 • r4e a8= a1 • r7

Fazendo a razão entres esses termos temos;

Agora vamos calcular a1

Substituindo a1 e r na forma do termo geral da (PG) temos;

an= a1 • r(n-1)

an= 4 • 2(n-1)

 an= 22 • 2(n-1)

an= 2(2+n-1)

an=2(n+1)

R: o termo geral da sucessão é an=2(n+1)

b) Para determinar o décimo quinto termo vamos substituir “n” por 15;

an=2(n+1)

a15=2(15+1)

a15=216

R: O décimo quinto da progressão é  216

Propriedade de uma progressão geométrica

an = (5,10,20,40,…,80,160,320,640)

5 640=10 • 320= 20 • 160= 40 • 80

Numa progressão geométrica produto dos termos equidistantes é igual.

a1 an=a2 • a(n-1)= a2 • a(n-1)= a3 • a(n-2)= a4 • a(n-4)=…

Soma dor termos de uma progressão geométrica

 an = (a1, a2, a3, a4 a(n-4), a(n-3, a(n-2), a(n-1), an)

sn = a1+ a2+ a3+ a4 a(n-4) + a(n-3) +  a(n-2) +  a(n-1) + an

Multiplicando ambos membros pela razão r temos;

sn r=  a2+ a3+ a4 a(n-4) + a(n-3) +  a(n-2) +  a(n-1) + a(n+!)

sn = a1+ a2+ a3+ a4 a(n-4) + a(n-3) +  a(n-2) +  a(n-1) + an

sn r- sn =  a1 • rn -a1

sn (r- 1) =  a1(rn 1)

sn (r- 1) =  a1(rn 1)

A soma dos termos de uma progressão geométrica é;

Exercícios de aplicação

4. Dada a sucessão an = (2,6,12,24…)

a) Qual é o termo geral sucessão

b)Calcule o sexto termo da sucessão

c)Calcule a soma dos 10 primeiros termos da sucessão

Resolução

a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente

an= a1 • r(n-1)

Podemos ver na sucessão an = (2,6,12,24…) que ;

a1=2 e d=3

Então o termo geral da sucessão é ;

an= a1 • r(n-1)

an= 2• 3(n-1)

b)O sexto termo da sucessão é pode ser calculado apartar de;

a6= 2• 3(6-1)

a6= 2• 35

a6= 2•243

a6= 486

b)A soma dos 12 primeiros termos da sucessão é dada pela forma;

Soma dos infinitésimos termos de uma progressão geométrica

Exercício de aplicação

Fracção geratriz

 Fracção geratriz é uma fracção capaz de expressar um número decimal com dízimas periódicas.

Exemplos de aplicação

Ex2; Escreve o número 2.333333…sobre forma de fracção

Resolução

2+0.333333…=2+0.3+0,03+0,003+0,0003+0,00003…

Note que (0.3+0,03+0,003+0,0003+0,00003…) a partir de 0,3 ate ao infinito temos um P(G) com a1=1e r=0,1

Ex2; Escreve o número 4.121212…sobre forma de fracção

Resolução

4+0. 121212…=4+0.12+0,0012+0,0000012…

Note que (0.12+0,0012+0,0000012…) a partir de 0,12 ate ao infinito temos um P(G) com a1=0,12e r=0,01

Aprender também:Progressão aritmética (PA)

Factorial de um número e permutações

Arranjos e Combinações

Aplicação da primeira e segunda derivada extremos e ponto de infecção

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios marcados com *