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Progressão aritmética (PA)

O que é progressão aritmética ?

Progressão aritmética é um tipo de sucessão em que a diferença entre os termos consecutivos é constante.

Exemplo de progressão aritmética

Ex1: an = (2,5,8,11,14…)

5-2=8-5=11-14=3 Conforme vermos a diferença entre os termos consecutivos é constante.

Ex2; vn = (30,25,20,15,10…)

25-30=20-25=15-20=10-15=-5 Conforme vermos a diferença entre os termos consecutivos é constante.

Mais exemplos de progressão aritmética

Ex3; in = (1,2,3,4,15…) a diferença é 1 (d=1)

Ex4; un = (-7,-10,-13,-15 …) a diferença é -3 (d=-3)

Ex5; yn = (-2,8,18,28, …) a diferença é 10 (d=10)

Exercidos de aplicação

1.Sabendo que a sequência x ,4x-9, 3x+18 é uma progressão aritmética determine o valor de x

Como a é uma progressão aritmética a diferença entre os termos consecutivos será constante ou seja;

a2-a1=a3-a2

4x-7-x=3x+18-(4x-7)

4x-9-x=3x+18-4x+7

4x+4x-x-3x=18+7+7

4x=32

x=8

Termo geral de uma progressão aritmética

Em geram uma sucessão é dada na forma an = (a1, a2, a3, a4 …)

Como a sucessão e uma PA então

a2 a1 = d ou seja a2 = a1 + d

a3 a2 = d ou seja  a3 = a2 +d

a4 a3= d ou seja  a4= a3+ d

Então na PA

a2 = a1 + d

a3 = a2 +d = a1 + d+d= a1 + 2d

a4= a3+ d= a1 + 2d+d= a1 + 3d

an= a(n-1)+ d=  a1 + (n-1)d

Conforme vimos o termo geral de uma progressão aritmética é;

an= a1 + (n-1)d

Exercício de aplicação

2. Dada a sucessão an = (4,10,16,22…)

a) Qual é o termo geral sucessão

b) Qual é o vigésimo termo da sucessão?

c)Qual é a ordem do termo 52

d) 86 é  termo da sucessão?

Resolução

a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente

an= a1 + (n-1)d

Podemos ver na sucessão an = (4,10,16,22…)  que ;

a1=4 e d=10-4=16-10=22-16=6

Então o termo geral da sucessão é ;

an= a1 + (n-1)d

an= 4+ (n-1)6

an= 4+ 6n-6

an= 6n-2

b) O vigésimo termo da sucessão é obtido pela forma do termo geral

an= 6n-2

a20= 6•20-2

a20= 120-2

a20= 118

c)A ordem do termo 52 vamos descobrir (calcular) a partir do termos geral

an= 6n-2

52= 6n-2

6n=52+2

6n=54

n=54/6

n=9

R: é o termo de ordem 9

d) Para saber se 86 é termo da sucessão vamos calcular a sua ordem

an= 6n-2

86= 6n-2

6n=86+2

6n=88

n=88/6

n=14,66

Como tivemos um valor de “n” não natura então 86 não é termo da sucessão

3. Numa progressão altimétrica sabe se que a3=13 e que a7=21 

a) Qual é o termo geral sucessão dessa progressão

b) Qual é o nono termo da sucessão?

Resolução

a)Dados a3=13; a7=21

A partir da forma do termo geral de uma PA an= a1 + (n-1)d

 sabemos que

a3= a1 + (3-1)d e a7= a1 + (7-1)d

13= a1 +2d e 21= a1 + 6d

a1 =13-2d

 21=13-2d+ 6d

21=13+ 4d

4d =21-13

4d =8

d=2

a1 =13-2d

a1 =13-2•2=13-4=9

an= a1 + (n-1)d

an= 9 + (n-1)2

an= 9 + 2n-2

an=2n+7

R: o termo geral da sucessão é an=2n+7

b) O nono termo da sucessão é;

a9=2•9+7

a9=18+7

a9=25

Propriedade de uma progressão aritmética

an = (2,4,6,8,…,14,16,18,20)

2+ 20=4+ 18= 6+ 16= 8+ 15….

Numa progressão aritmética a soma dos termos equidistantes é igual.

a1+ an=a2+ a(n-1)= a2+ a(n-1)= a3+ a(n-2)= a4+ a(n-4)=…

Soma dos termos de uma progressão aritmética

 an = (a1, a2, a3, a4 a(n-4), a(n-3, a(n-2), a(n-1), an)

sn = a1+ a2+ a3+ a4 a(n-4) + a(n-3) +  a(n-2) +  a(n-1) + an

a1+ an =a2+ a(n-1)= a2+ a(n-1)= a3+ a(n-2)= a4+ a(n-4) essa soma se repente n/2vezes então podemos dizer que;

A soma dos termos de uma progressão aritmética é;

Como an= a1 + (n-1)d podemos substituir essa expressão e escrever ;

Exercícios de aplicação

4. Dada a sucessão an = (8,14,20,24…)

a) Qual é o termo geral sucessão

b)Calcule a soma dos 20 primeiros termos da sucessão

Resolução

a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente

an= a1 + (n-1)d

Podemos ver na sucessão an = (8,14,20,24…) que ;

a1=8 e d=6

Então o termo geral da sucessão é ;

an= a1 + (n-1)d

an= 8+ (n-1)6

an= 8+ 6n-6

an= 6n+2

b)A soma dos 20 primeiros termos da sucessão é dada pela forma;

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