Equações diferencias (Classificação, tipos e solução de uma equação diferencial)

Equações diferencias

O que é uma equação diferencial?

Equação diferencial é uma equação que contém derivada.

Exemplos de equações diferencias

a) y’-2x=0

b) yxdy-xdx=4x

c)(y’’)²-xy’=x²+3x

d) 4y’’’+3y=sen(x)+x

Classificação de uma equação diferencial quanto a Ordem

A classificação das equações diferencial quanto a ordem é feita tendo em conta a derivada de máxima ordem, se a derivada de máxima ordem tiver ordem “n” diremos a equação diferencial é uma equação de ordem “n”.

Exemplos de classificação de equações diferencias quanto a ordem

a) y’-2x=0 equação diferencial de primeira ordem

b) 5y’’+y-2x=0 equação diferencial de segunda ordem

c) y’-y’’+y=2x equação diferencial de segunda ordem

d) 4y’’’+3y=sen(x)+x equação diferencial de terceira ordem

Equações diferencias lineares

Uma equação diferencial é linear se ela poder ser escrita na forma;

a0(x)yⁿ + a1(x) yⁿ¯¹+ a2(x) y ⁿ¯²+… + an(x)y=g(x)

Nota; os expoentes representam as derivada.

Equações diferencias não lineares

Uma equação diferencial que não satisfaz a condição de linearidade, diremos que ela é uma equação diferencial não linear.

Exercícios

Verifique para cada uma das funções diferencias se são ou não linear

a) y’’-3xy=x²

A equação é linear

b) (x+2)²y’-y=0

A equação é linear

c)y’’’+yy’+xy=x³+3

A equação não é linear pois por causa do y que multiplica o y’ na equação diferencial não podemos só podemos ter produto de an(x) e yⁿ.

Equação diferencial ordinária

Equação diferencial ordinária é uma equação diferencial contendo uma função que dependa apenas de uma só variável independente.

Exemplos de equação diferencial ordinária

a)y’’’+yy’+y=x³+3

b)x²y’+xy=sen(x)+x

c)ln(x+3)yy’’’= cos(x²+2x)

b)( y’’)³+xyy’+y=sen²(x)+x

Equação diferencial Parcial

Equação diferencial Parcial é uma equação diferencial contendo uma função com mais de uma variável independente.

a)y’(t)+(2t+1)y’(x)+xy= 3

Note que a que nos temos duas variáveis independentes o x e o t por isso nos dissemos que a equação é parcial (tem mais de uma variável independente)

Quais são o tipos de equações diferencias

-Equação diferencial com variáveis separáveis

-Equação diferencial de primeira ordem

-Equação diferencial de segunda ordem

-Equação diferencial de ordem superior

…

Solução de uma equação diferencial

A) Verifique se a função y=x² é solução da equação y’-2x=0

Resolução

Privamos achar y’a parti da função y= x²

y= x²

y’= 2x

Agora vamos verificar se y’-2x=0

2x -2x=0

0=0

Logo a função y= x² é solução da equação diferencial y’-2x=0

b) Averigúe se a função y=x+C é solução da equação y’’-2y=1

Resolução

Primeiramente vamos achar y’ e de seguida y’’

y=x+C

y’=1

y’’=0

 Agora vamos verificar se y’’-2y=1

y’’-2y=1

0- x+C =1

x+C =1

Como x+C é diferente de 1logo a função y=x+C não é solução da equação diferencial y’’-2y=1

C) A função y=sen(x) é solução da equação y’’-y’+y=-cos(x)

Resolução

Primeiramente vamos achar y’ e de seguida y’’ y=sen(x)

y=sen(x)

y’= cos(x)

y’’=- sen(x)

 Agora vamos verificar se y’’-y’+y=-cos(x)

y’’-y’+y=-cos(x)

– sen(x)-cos(x)+ sen(x) =-cos(x)

-cos(x)=-cos(x)

Como y’’-y’+y=-cos(x) é igual para y= sen(x) logo a função y= sen(x) é solução da equação diferencial y’’-y’+y=-cos(x)

Logo a função y= x² é solução da equação diferencial y’-2x=0

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