O que é uma Equações paramétricas ?
Denomina-se por equação paramétrica a toda equação quadrática que para alem da incógnita considerada contêm outra variável, denominada parâmetro.
Exemplo:
2X2+3mx + m-1 = 0 esta é uma equação quadrática em ordem a X e tem como parâmetro m, dai denomina-se equação paramétrica .
Tem como coeficientes a = 2,b =3 m, c =m – 1
O objectivo da equaçãoparamétrica é determinar o valor do paramento de modo que a equaçãosatisfaça a condição dada.
Resolução de equações paramétricas
A equação paramétrica pode ser resolvida mediante as três condições:
1ª Δ > 0- para que a equação admita duas raízes distintas ou diferentes (x1≠ x2);
2ªΔ = 0 – para que a equação admita duas raízes iguais ou raiz dupla( x1 = x2);
3ª Δ < 0- para que a equação não admita raízes reais.
Lembrando que Δ = b2 – 4*a*c
1.Agora vamos tomar o exemplo anterior: X2 +3x + m-1 = 0
a)Determine o valor de m de modo que a equação admita duas raízes reais opostas
b)Determine o valor de m de modo que a equação raízes iguais;
c)Determine o valor de m de modo que a equação não admita nenhuma raiz real
Resolução
a)Valor de m de modo que a equação admita duas raízes reais opostas
2X2+ 3x + m-1 = 0
a= 2, b = 3, c = m-1
Como queremos determinar o valor de m de modo que a equação admita duas raízes reais opostas então Δ >0 .
Δ > 0
b2 – 4*a*c > 0
32 – 4*2*(m-1) > 0
9 -8*(m-1) > 0
9 – 8m -8 > 0
-8m> 0 – 9 + 8
-8m > – 1
8m < 1
m < 1/8
Nota: a variável é negativa por isso devemos multiplicar toda a equação por (-1) e a desigualdade vai mudar.
- Portanto para que a equação 2X2 + 3x + m-1 = 0 admita duas raízes reais opostas o valor de m deve ser menor que 1/8.
b) Valor de m de modo que a equação raízes iguais
2X2+ 3x + m-1 = 0
a= 2, b = 3, c = m-1
Como queremos determinar o valor de m de modo que a equação admita duas raízes iguais então Δ = 0 .
b2 – 4*a*c = 0
32 – 4*2*(m-1) = 0
9 -8*(m-1) = 0
9 – 8m -8 = 0
-8m = 0 – 9 + 8
-8m = – 1
8m = 1
m = 1/8
Portanto para que a equação 2X2 + 3x + m-1 = 0 admita duas raízes reais iguais o valor de m deve ser igual a 1/8.
c)Valor de m de modo que a equação não admita nenhuma raiz real
2X2+ 3x + m-1 = 0
a= 2, b = 3, c = m-1
Como queremos determinar o valor de m de modo que a equação não admita raízes reais então Δ<0 .
b2 – 4*a*c< 0
32 – 4*2*(m-1) < 0
9 -8*(m-1) < 0
9 – 8m -8< 0
-8m < 0 – 9 + 8
-8m < – 1
8m > 1
m > 1/8
Portanto para que a equação 2X2 + 3x + m-1 = 0 não admita raízes reais o valor de m deve ser maior que 1/8.
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