Factorial de um número (n!)
Chamamos de factorial de n ao produto dos n primeiros números naturais
Exemplos
9!=9•8•7•6•5•4•3•2•1=362880
5!= 5•4•3•2•1=120
4!= 4•3•2•1=24
3!= 3•2•1=6
2!= 2•1=6
1!=1
Por conversão 0!=1
60!=60•69•68•67•66•65…3•2•1
200!=2000•1999•1998…3•2•1
Observe que ;
n!= (n-1)•(n-2)•(n-3)•…•2•1
Exercícios de aplicação
Calcule
a)4!-3!=4•3•2•1-3•2•1=24-6=18
2.Simplifique as seguintes expressões;
Para simplificar nos demos sempre olhar o menor número contendo factorial e regredir todos termos ate esse menor termo (entre n , n-2 e n-1 o menor é n-2 então vamos regredir n! e (n-1)! ate (n-2)!.
Resolução
3.Calcule o valor de n sabendo que;
Resolução
Para calcular o valor de n primeiro vamos simplificar
c)n!=110(n-2)!
n(n-1)(n-2)!=110(n-2)!
n(n-1)=110
n2-n=110
n2-n-110=0
n=11 ou n=-10
R : como n é número natural então n=11
d)n!=40320
Vamos fazer divisões sucessivas
40320÷1=40320
40320÷2=20160
20160÷3=6720
6720÷4=1680
1680÷5=336
336÷6=56
56÷7=8
8÷8=1
40320=1•2•3•4•5•6•7•8=8!
Vamos na pergunta na equação “n!=40320“ substituir 40320 por 8!
n!=8!
Então n=8
Permutações (Pn)
Permutação de n representa o número de sequências diferentes que é possível obter com n elementos.
Pn → Permutações de n elementos.
Pn = n!
Exercícios de aplicação
1.calcule;
a)P3 = 3!=3•2•1=6
b)P5+8=5!+ 8= 5•4•3•2•1+8=24+8=32
d)P(n+2)=120
(n+2)!=120
Vamos fazer divisões sucessivas
120÷1=120
120÷2=60
60÷3=20
20÷4=5
5÷5=1
Com essa divisão notamos que;
120=1•2•3•4•5=5!
Vamos na pergunta na equação “(n+2)!= 120 “ substituir 120 por 5!
(n+2)!=5!
n+2=5
n=5-2
n=3
Problemas
1)Quantas permutações são possível fazer com as letras (s,r,t)
Resolução
Nos queremos fazer permutações com três elementos (P3)
P3 = 3!=3•2•1=6
R: podemos fazer 6 permutações
2)De quantas maneira podem sente pessoas podem ficar em uma fila para comprar pão ?
Resolução
Nos queremos permutar sente pessoas
P7 = 7!=7•6•5•4•3•2•1=5040
R: Sente pessoas podem ficar em uma fila para comprar pão de 5040 maneiras
3)Quantas palavras diferentes com ou sem sentido podem ser escritos com as letras da palavra SABER
Resolução
A palavra SABER tem cinco letras e as palavras são escritas através de permutações de letras então para descobrir o numero de palavras diferentes com ou sem sentido podem ser escritos basta fazer cinco permutações
P5 = 5!=5•4•3•2•1=120
R: Com as letras da palavra SABER podemos formar 120 palavras com ou sem sentido.
3.1 Quantos anagramas começam com a letra B
Resolução
B_ _ _
Colocando B no inicio só ficamos com 4 possibilidades de permutações (P4)
P4 = 4!=4•3•2•1=24
R: 24 anagramas começam com a letra B
3.2 Quantos anagramas começam com a letra R e terminar com a letra A
Resolução
R _ _ A
Colocando R no inicio só ficamos com 3 possibilidades de permutações (P3)
P3= 3!= 3•2•1=6
R: 6 anagramas começam com a letra R e terminar com a letra A
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Números complexo