Factorial de um número e permutações

Factorial de um número (n!)

Chamamos de factorial de n ao produto dos n primeiros números naturais

Exemplos

9!=9•8•7•6•5•4•3•2•1=362880

5!= 5•4•3•2•1=120

4!= 4•3•2•1=24

3!= 3•2•1=6

2!= 2•1=6

1!=1

Por conversão 0!=1

60!=60•69•68•67•66•65…3•2•1

200!=2000•1999•1998…3•2•1

Observe que ;

n!= (n-1)•(n-2)•(n-3)•…•2•1

Exercícios de aplicação

Calcule

a)4!-3!=4•3•2•1-3•2•1=24-6=18

2.Simplifique as seguintes expressões;

Para simplificar nos demos sempre olhar o menor número contendo factorial e regredir todos termos ate esse menor termo (entre n , n-2 e n-1 o menor é n-2 então vamos regredir n! e (n-1)! ate (n-2)!.

Resolução

3.Calcule o valor de n sabendo que;

Resolução

Para calcular o valor de n primeiro vamos simplificar

c)n!=110(n-2)!

n(n-1)(n-2)!=110(n-2)!

n(n-1)=110

n²-n=110

n²-n-110=0

n=11 ou n=-10

R : como n é número natural então n=11

d)n!=40320

Vamos fazer divisões sucessivas

40320÷1=40320

40320÷2=20160

20160÷3=6720

6720÷4=1680

1680÷5=336

336÷6=56

56÷7=8

8÷8=1

40320=1•2•3•4•5•6•7•8=8!

Vamos na pergunta na equação “n!=40320“ substituir 40320 por 8!

n!=8!

Então n=8

Permutações (P_n)

Permutação de n representa o número de sequências diferentes que é possível obter com n elementos.

P_n → Permutações de n elementos.

P_n= n!

Exercícios de aplicação

1.calcule;

a)P₃= 3!=3•2•1=6

b)P₅+8=5!+ 8= 5•4•3•2•1+8=24+8=32

d)P_(n+2)=120

(n+2)!=120

Vamos fazer divisões sucessivas

120÷1=120

120÷2=60

60÷3=20

20÷4=5

5÷5=1

Com essa divisão notamos que;

120=1•2•3•4•5=5!

Vamos na pergunta na equação “(n+2)!= 120 “ substituir 120 por 5!

(n+2)!=5!

n+2=5

n=5-2

n=3

Problemas

1)Quantas permutações são possível fazer com as letras (s,r,t)

Resolução

Nos queremos fazer permutações com três elementos (P₃)

P₃= 3!=3•2•1=6

R: podemos fazer 6 permutações

2)De quantas maneira podem sente pessoas podem ficar em uma fila para comprar pão ?

Resolução

Nos queremos permutar sente pessoas

P₇= 7!=7•6•5•4•3•2•1=5040

R: Sente pessoas podem ficar em uma fila para comprar pão de 5040 maneiras

3)Quantas palavras diferentes com ou sem sentido podem ser escritos com as letras da palavra SABER

Resolução

A palavra SABER tem cinco letras e as palavras são escritas através de permutações de letras então para descobrir o numero de palavras diferentes com ou sem sentido podem ser escritos basta fazer cinco permutações

P₅= 5!=5•4•3•2•1=120

R: Com as letras da palavra SABER podemos formar 120 palavras com ou sem sentido.

3.1 Quantos anagramas começam com a letra B

Resolução

B_ _ _

Colocando B no inicio só ficamos com 4 possibilidades de permutações (P₄)

P₄= 4!=4•3•2•1=24

R: 24 anagramas começam com a letra B

3.2 Quantos anagramas começam com a letra R e terminar com a letra A

Resolução

R _ _ A

Colocando R no inicio só ficamos com 3 possibilidades de permutações (P₃)