O que são funções logaritmicas?
O que são funções logaritmicas?
Funções logarítmicas são funções em que a variável esta no logaritmano, não basta só saber o concito de funções logarítmicas e necessário saber fazer o gráfico de uma função logarítmicas.
Exemplos de funções logarítmicas
a)f(x)=log2 x
b)f(x)=log2 (x+7)
c) f(x)=log3x-4
d) f(x)=log5 (x+1) – 2
Como fazer o gráfico de uma função logarítmica
Uma função logarítmica pode estar aprestada em basicamente nas seguintes formas :
1.f(x)=loga x
2.f(x)=loga (x+b)
3. f(x)=loga x+c
4. f(x)=loga (x+b)+c
Estudo completo uma função logarítmica
Domínio de uma função logaritmo
Uma função logaritmo conforme já aprendemos é uma função do tipo f(x)= loga x onde “a” chamamos de base e x de logaritmano.
Tanto a base como o logaritmano não pode ser negativos e a base não pode ser 1.
O domínio considerado que “a” seja um numero positivo diferente de um, o domínio ou o conjunto de valores que “x” pode assumir são todos os valores positivos ou seja x>0 que podemos representar como;
Df; x ∈ ]0,+ ∞[
* Domínio de uma função domínio de uma função logaritmo do tipo f(x)= loga (x+b)+c
O domínio é feito de forma análogo tendo em conta que o logaritmano deve ser positivo.
Df; x+b>0
x>-b
Em forma de intervalo podemos representar o domínio como; Df; x ∈ ]-b,+ ∞[.
Função inversa de uma função logaritmo
A função inversa de uma função logaritmo é sempre uma função exponencial, e a inversa de uma função exponencial é sempre uma função logarítmica.
Exemplos de funções logaritmo e suas inversas
| Função logaritmo | Sua inversas |
| f(x)=loga x | f-1(x)=ax |
| g(x)= loga (x+b) | g-1(x)= ax-b |
| h(x)=loga x+c | h-1(x)=a(x-c) |
| k(x)= loga (x+b) + c | k-1(x)=a(x-c)-b |
Representação gráfica de uma função logarítmica f(x)=loga x
Para fazermos o gráfico de uma função logarítmica convêm recorremos a sua inversa, pois fazer o gráfico de uma função logarítmica atribuindo valores aleatórios ao x pode ser muito trabalhoso.
Exercícios resolvidos para construir gráficos de uma funções logarítmicas e fazer o estudo completo
1.Representar o gráfico da função f(x)=log3 x e fazer o estudo completo.
Podemos fazer esse gráfico atribuindo valores ao x e vermos o valor que f(x) toma mais esse método pode nos dar muito trabalho, por exemplo se formos a escolher x=2 qual será o valor de f(2) , o valor de f(2) é f(2)=log3 2 esse valor é muito trabalhoso representar com exactidão do gráfico.
Para evitar esses problemas para representar o gráfico da função f(x)=log3 x vamos recorrer a função inversa que é g(x)=3x e depois inverter os valores ( os valores de x passam para y e os valores de y passam para x)
Construiremos uma tabela de valores onde atribuiremos valores ao x e vemos quão são os valores que a função ( g(x)=3x ) assume para cada valor de x atribuído.
i) Fazer uma tabela e atribui valores ao x e ver os valores que y=f(x) toma.
| x | f(x)=3x |
| -2 | 1/9 |
| 1 | 1/3 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
Agora vamos inverter os valores de x para y e assim temos a tabela f(x)=log3 x
| x | f(x)=log3 x |
| 1/9 | -2 |
| 1/3 | 1 |
| 1 | 0 |
| 3 | 1 |
| 9 | 2 |
Agora vamos representar esses valores no sistemas de coordenadas xoy e assim teremos o gráfico da função f(x)=log3 x
II) representar o gráfico
Estudo completo da função f(x)=log3 x
A função tem domínio x ∈ IR+ ( o x só assumes valores positivos)
Contra domínio y ∈ IR ( a função pode assumir todos valores )
Zeros da função x=1
Ordenada na origem
A função não tem ordenada na origem
Monotonia
A função é crescente
Variação de sinal
]0,1[ negativo
]1,+ ∞[ positivo
Equação da Assinptota
A função tenta a tocar a recta vertical x=0, então diremos que a função tem uma Assimptota vertical x=0
AV; x=0
2.Representação gráfica estudo completo da função logarítmica
Para fazer o gráfico dessa função usaremos a sua inversa, onde primeiro vamos fazer uma tabela para função g(x)=(1/2)x
Tal como fizemos no primeiro exercício, vamos inverter os valores de x para y e assim temos a tabela f(x)=log(1/2) x
Vamos representar esses valores no gráfico e assim termos o gráfico dessa função exponencial
Estudo completo da função
A função tem domínio x ∈ IR+ que também pode ser representado como ; ]0,+∞[
Contra domínio
y ∈ IR
Zeros da função
A função tem zero em x=1
Ordenada na origem
A função não possui ordenada na origem
Monotonia ; A função é decrescente
Variação de sinal
]0,1[ positivo
]1,+ ∞[ negativo
Equação da Assinptota
A função tenta a tocar a recta vertical x=0, então diremos que a função tem uma Assimptota vertical x=0
AV; x=0
Representação gráfica da função logarítmica do tipo f(x)=loga (x+b)
Esse tipo de função é feito a partir da função da translação do gráfico da função g(x)=loga x
Para fazer o gráfico da função y=loga (x+b) a partir da função g(x)=loga x vamos;
– Deslocar b unidades para esquerda se b for positivo
– Deslocar b unidades para directa se b for negativo
A maneira de fazer o estudo completo é a mesma,
A função continua tem domínio Df; x > -b , contradomínio IR, tem zero em x=1 , tem ordenada na origem, e é crescente se a>0 e decrescente se 0<a<1.
Representação gráfica da função logarítmica do tipo f(x)=logax+b
O gráfico da função f(x)=loga x+b é feito a partir da função g(x)=loga x, recorrendo ao processo de translação.
Para fazer o gráfico da função f(x)=loga x+b a partir da função g(x)=loga x vamos;
– Deslocar b unidades para cima( ao logo do eixo x) se b for positivo
– Deslocar b unidades para baixo( ao logo do eixo x) se b for negativo
Exercícios de gráficos de funções logarítmicas usando translação
1.Faca o gráfico da função f(x)=log2 (x+4) e fazer o estudo completo
Para fazer esse gráfico ( o gráfico da função f(x)=log2 (x+4) ) primeiro vamos fazer gráfico da função g(x)=log2 x, e depois transladar 4 unidades para esquerda (ao longo do eixo x).
Gráfico da função g(x)=2x
Vamos fazer a translação de 4 unidades para esquerda, a função g(x)=2x tem zero da função 1, para a função f(x)=log2 (x+4) terá zero em (1-4)=-3 “trasladando quatro unidades para esquerda” ,ao longo de todo gráfico translademos quatro unidades PARA esquerda e desse modo o gráfico da função f(x)=log2(x+4) é;
Com forme podemos ver no gráfico;
O domínio da função; x ∈ ]-4,+∞[
O contradomínio da função é y ∈ IR
Os zeros; x=-3
Ordenada na origem y=2 (Note que esse tipo de função logarítmica tem ordenada na origem ou seja intercepta o eixo das coordenadas)
A variação de sinal
A função é negativa em x ∈ ]-4,-3[ e positiva em x ∈ ]-3,+∞[
Monotonia; a nossa função logarítmica f(x)=log 2 (x+4) conforme podemos ver no gráfico ela é crescente
Assimptota; A função tem uma Assimptota Vertical x=-4
Exercícios para praticar
1.Fazer os gráficos e o estudo completo das seguintes funções
a)f(x)=log5 x
b)h(x)=log5 (x-6)
c)gx)=log(1/3) x
d)k(x)=log2 x-2