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Arranjos e Combinações

Arranjo é uma qualquer sequência de elementos diferentes, escolhidos entre os elementos de um conjunto dado.

Os arranjos (o numero de sequência possíveis entre) de um conjunto n com p elementos são representados por:

Exercícios de aplicação

1.Calculo os seguintes arranjos

2.Determine o valor de n que satisfaça os Seguintes exercícios:

R; como n é natura então n=5

Problemas usando arranjo

1.Quantos números de dois algarismos podem ser escritos com os números (1,2,3,4,5,6) sem repetição

Resolução

Temos (1,2,3.4,5,6) n=6 e queremos escrever números de dois dígitos p=2

2.Com o conjunto (1,3,4,7,9) Quantos números de quatro algarismos podem ser escritos sem repetição

Resolução

n=5 e p=4

2.Com o conjunto (0,1,2,3,4,5,6) Quantos números de cinco algarismos podem ser escritos sem repetição

Resolução

Se não formos a considerar que n=7 e p=5 a fazer arranjos de7 tomado a cinco vamos a considerar que os números como:

01234 ;02476… (Enquanto o numero não pode iniciar com zero)

Vamos resolver do seguinte modo, Queremos escrever números de cinco dígitos;

_  _  _  _  _

-No primeiro digito dos sente só podemos escrever seis pois não podemos escrever o zero

-No segundo digito dos sente ficamos com seis (podemos escrever o zero)

-No terceiro temos cinco números que podemos escrever

-No quarto temos quatro números que podemos escrever

-No quinto temos três números que podemos escrever

6•6•5•4•3=2160

R; podemos escrever 2160 números

2.Com o conjunto (3,4,5,6) Quantos números de pares de três  algarismos podem ser escritos sem repetição

Resolução

Em um numero par sempre o ultimo digito é sempre par então no conjunto dado o numero será par se terminar com (4,6) ( O último digito nos só podemos escrever dois números)

2•3•2=12

R; podemos escrever 12 números pares.

Combinações

Combinações n tomado a p representa o numero de grupos que se pode formar com n elementos do conjunto.

Exercícios de aplicação

1.Calculo o valor das combinações abaixo:

2.Determine o valor de n que satisfaça os Seguintes equações de combinações:

R; como n é natura então n=9

III. Problemas usando Combinações

1.De quantas maneiras diferentes se pode formar comissões de 3 elementos no grupo de 20 amigos

Resolução

Temos vinte amigos n=20 e queremos formar grupos de dois p=3 elementos

R: Podemos formar 1140 comissões

2.A Maria , Ana ,Paulo, Tadeu e Beto pretender formar grupos com duas pessoas cada quantos grupos podem ser formados ?

Resolução

Temos cinco pessoas (A Maria , Ana ,Paulo, Tadeu e Beto) n=5 e queremos formar grupos com duas pessoas p=2

R: Podemos formar 10 grupos diferentes

3.No universo de 10 pescadores pretende se escolher 2 representantes de quantas maneira se pode fazer essa escolha?

Resolução

4.Num grupo de 5 meninas 7 rapazes responda

4.1 De quantas maneiras diferentes se pode formar grupos de 3 elementos ?

Resolução

Nos temos doze pessoas (5 meninas 7 rapazes) n=12 e queremos grupos de 3 elementos p=3

4.2 De quantas maneiras diferentes se pode formar grupos com 2 (duas) meninas e 3 (três) rapazes ?

Resolução

Nos temos 5 meninas e queremos formas grupo com duas delas e temos 7 rapazes e queremos formar grupos com três deles

4.3 De quantas maneiras diferentes se pode formar grupos com 4 elementos com pelo menos uma menina?

Resolução

Nos primeiro devemos procurar saber quando nos teremos uma menina

Temos de com pelo menos duas Meninas se;

1ª Caso tiver quatro Meninas e nenhum Rapaz

(Nas Cinco meninas vamos levar quatro e nos sente rapazes vamos levar nenhum)

2ª Caso tiver três Meninas e um Rapaz

(Nas Cinco Meninas vamos levar as três e nos sente rapazes vamos levar um)

2ª Caso tiver duas Meninas e dois Rapaz

(Nas Cinco Meninas vamos levar as duas e nos sente rapazes vamos levar dois)

Não temos mais outra possibilidade

Então o número total de casos com pelo menos duas Meninas é:

5.Numa turma de 20 alunos pretende se escolher 5 pessoas para representar a turma de quantas maneiras diferentes se pode escolher essas pessoas sendo que o chefe de turma deve estar presente

Resolução

Temos uma turma com  20 alunos pretende se escolher 5 pessoas mais nesses cinco o chefe deve estar presente Nos vinte a gente vai tirar o chefe e nos e passos a ter 19 e nos cinco e  como já tiramos o chefe passamos a ter 4

Temos chefe e queremos escolher o chefe e temos 19 queremos escolher 4

R: Podemos escolher cinco pessoas (incluindo o chefe) parra representar a turma de 3876 maneiras diferentes

Como distinguir os problemas de arranjos dos problemas de combinações

Os Problemas de arranjos temos uma comissão diferente (a ordem importa) enquanto os problemas de que usamos combinação inverter a ordem não muda nada (é a mesma comissão) a ordem dos elementos não importa.

1.Quantos números de dois algarismos podemos escrever com os dígitos (1,2,3.4,5)

Resolução

Vamos analisar 12≠21 “quando nos invertemos a ordem dos elementos temos uma comissão diferente então” a ordem importa por isso usaremos arranjos

Temos cinco (1,2,3.4,5) n=5 e queremos escrever números de dois dígitos p=2 

R: Com os dígitos (1,2,3.4,5) podemos escrever 20 números diferentes de dois algarismos

2.Quantos grupos de dois podemos no universo se 4 amigos

Resolução

Nos temos 4 amigos por exemplo Beto, Victor, Carla Vina,

 Nota; ter um grupo com o Beto e Victor é mesma coisa de ter um grupo de Victor e Beto (Beto, Victor) =(Victor ,Beto) então a ordem dos elementos não importa por isso usamos combinações.

Temos quatro amigos n=4 e queremos formar grupos de dois p=2

3.Numa prova finas de corridas vão participar 6 atletas que disputam medalhas de ouro prata e bronze de quantas maneiras deferentes se pode dividir esses prémios.

Resolução

Nos temos 6 atletas por exemplo Leo, Dário, Pinto, Guto. Zito ,Beto

Nota; queremos atribuir medalhas a três deles medalhas Exemplo

OuroPrataBronze
LeoDárioPinto

Se nos invertemos a ordem temos uma comissão diferente

OuroPrataBronze
PintoDárioLeo

Observe que óleo ganhar uma medalha de ouro é diferente de o Leo ganhar uma medalha de bronze por isso usaremos arranjos(como a ordem importa)

Temos seis atletas n=6 e queremos atribuir prémio a três  deles p=3

R: De 120 maneiras

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