Progressão aritmética (PA)

O que é progressão aritmética ?

Progressão aritmética é um tipo de sucessão em que a diferença entre os termos consecutivos é constante.

Exemplo de progressão aritmética

Ex₁: a_n = (2,5,8,11,14…)

5-2=8-5=11-14=3 Conforme vermos a diferença entre os termos consecutivos é constante.

Ex₂; v_n = (30,25,20,15,10…)

25-30=20-25=15-20=10-15=-5 Conforme vermos a diferença entre os termos consecutivos é constante.

Mais exemplos de progressão aritmética

Ex₃; i_n = (1,2,3,4,15…) a diferença é 1 (d=1)

Ex₄; u_n = (-7,-10,-13,-15 …) a diferença é -3 (d=-3)

Ex₅; y_n = (-2,8,18,28, …) a diferença é 10 (d=10)

Exercidos de aplicação

1.Sabendo que a sequência x ,4x-9, 3x+18 é uma progressão aritmética determine o valor de x

Como a é uma progressão aritmética a diferença entre os termos consecutivos será constante ou seja;

a₂-a₁=a₃-a₂

4x-7-x=3x+18-(4x-7)

4x-9-x=3x+18-4x+7

4x+4x-x-3x=18+7+7

4x=32

x=8

Termo geral de uma progressão aritmética

Em geram uma sucessão é dada na forma a_n = (a₁, a₂, a₃, a₄ …)

Como a sucessão e uma PA então

a₂ – a₁ = d ou seja a₂ = a₁ + d

a₃ – a₂ = d ou seja  a₃ = a₂ +d

a₄– a₃= d ou seja  a₄= a₃+ d

Então na PA

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ +d = a₁ + d+d= a₁ + 2d

a₄= a₃+ d= a₁ + 2d+d= a₁ + 3d

a_n= a_(n-1)+ d=  a₁ + (n-1)d

Conforme vimos o termo geral de uma progressão aritmética é;

a_n= a₁ + (n-1)d

Exercício de aplicação

2. Dada a sucessão a_n = (4,10,16,22…)

a) Qual é o termo geral sucessão

b) Qual é o vigésimo termo da sucessão?

c)Qual é a ordem do termo 52

d) 86 é  termo da sucessão?

Resolução

a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente

a_n= a₁ + (n-1)d

Podemos ver na sucessão a_n = (4,10,16,22…)  que ;

a₁=4 e d=10-4=16-10=22-16=6

Então o termo geral da sucessão é ;

a_n= a₁ + (n-1)d

a_n= 4+ (n-1)6

a_n= 4+ 6n-6

a_n= 6n-2

b) O vigésimo termo da sucessão é obtido pela forma do termo geral

a_n= 6n-2

a₂₀= 6•20-2

a₂₀= 120-2

a₂₀= 118

c)A ordem do termo 52 vamos descobrir (calcular) a partir do termos geral

a_n= 6n-2

52= 6n-2

6n=52+2

6n=54

n=54/6

n=9

R: é o termo de ordem 9

d) Para saber se 86 é termo da sucessão vamos calcular a sua ordem

a_n= 6n-2

86= 6n-2

6n=86+2

6n=88

n=88/6

n=14,66

Como tivemos um valor de “n” não natura então 86 não é termo da sucessão

3. Numa progressão altimétrica sabe se que a₃=13 e que a₇=21 

a) Qual é o termo geral sucessão dessa progressão

b) Qual é o nono termo da sucessão?

Resolução

a)Dados a₃=13; a₇=21

A partir da forma do termo geral de uma PA a_n= a₁ + (n-1)d

 sabemos que

a₃= a₁ + (3-1)d e a₇= a₁ + (7-1)d

13= a₁ +2d e 21= a₁ + 6d

a₁ =13-2d

 21=13-2d+ 6d

21=13+ 4d

4d =21-13

4d =8

d=2

a₁ =13-2d

a₁ =13-2•2=13-4=9

a_n= a₁ + (n-1)d

a_n= 9 + (n-1)2

a_n= 9 + 2n-2

a_n=2n+7

R: o termo geral da sucessão é a_n=2n+7

b) O nono termo da sucessão é;

a₉=2•9+7

a₉=18+7

a₉=25

Propriedade de uma progressão aritmética

a_n = (2,4,6,8,…,14,16,18,20)

2+ 20=4+ 18= 6+ 16= 8+ 15….

Numa progressão aritmética a soma dos termos equidistantes é igual.

a₁+ a_n=a₂+ a_(n-1)= a₂+ a_(n-1)= a₃+ a_(n-2)= a₄+ a_(n-4)=…

Soma dos termos de uma progressão aritmética

 a_n = (a₁, a₂, a₃, a₄ … a_(n-4), a_(n-3, a_(n-2), a_(n-1), a_n)

s_n = a₁+ a₂+ a₃+ a₄ … a_(n-4) + a_(n-3) +  a_(n-2) +  a_(n-1) + a_n

a₁+ a_n =a₂+ a_(n-1)= a₂+ a_(n-1)= a₃+ a_(n-2)= a₄+ a_(n-4) essa soma se repente n/2vezes então podemos dizer que;

A soma dos termos de uma progressão aritmética é;

Como a_n= a₁ + (n-1)d podemos substituir essa expressão e escrever ;

Exercícios de aplicação

4. Dada a sucessão a_n = (8,14,20,24…)

a) Qual é o termo geral sucessão

b)Calcule a soma dos 20 primeiros termos da sucessão

Resolução

a)Para determinar o termo geral sucessão usaremos a forma to termo geral que vimos anteriormente

a_n= a₁ + (n-1)d

Podemos ver na sucessão a_n = (8,14,20,24…) que ;

a₁=8 e d=6

Então o termo geral da sucessão é ;

a_n= a₁ + (n-1)d

a_n= 8+ (n-1)6

a_n= 8+ 6n-6

a_n= 6n+2

b)A soma dos 20 primeiros termos da sucessão é dada pela forma;

Veja aulas de;Progressão geométrica (PG)

Classificação de uma sucessão
Módulo de um número real

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