Teorema de Pitágoras (demonstração e resolução de exercícios)

O teorema de Pitágoras ajuda-nos a resolver diversos exercícios de geométrica.

Enunciado do Pitágoras

Para um triângulo rectângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual a ao quadrado da hipotenusa.

Demonstração teorema de Pitágoras

Para fazer a demonstração do teorema de Pitágoras, vamos desenhar um quadrado e dentro dele desenhar um outro quadro menor e inclinamos ele de modo que surjam 4 triângulos rectângulos idênticos

A área do quadrado é lado ao quadrado

* Para o quadrado externo o lado é (a+b) então a área do quadrado externo será Aex=(a+b)²

* Para o quadrado interno o lado é “c” então a área do quadrado externo será Ain=c²

“A área do quadrado externo é igual a soma da área dos 4 triângulos e do quadrado interno”

O que estamos a ver no triângulo é que;

c- chamamos de hipotenusa

a, b são chamados de catetos

O Teorema demonstrado acima é chamado de teorema de Pitágoras

Exercícios resolvidos sobre teorema de Pitágoras

1.Para a figura abaixo determine a mede do lado x

A figura é um triangulo rectângulo e o lado x representa a hipotenusa portado pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras.

Dados

a=3cm

b=4cm

x=?

Formula

x²=a²+b²

Resolução

x²=3²+4²

x²=9+16

x²=25

x=√25

x=5

A medida do lado x do triângulo a vale 5cm

2.Calcule a mediada do cateto “y”

A figura é um triangulo rectângulo e sendo assim a lado y pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras, tendo em que a hipotenusa vale 25cm e um dos catetos vale 20cm e outro cateto é o y.

Dados

h=25cm

C1=20cm

y=?

Formula

h²=C²1+y²

Resolução

25²=20²+y²

625=400+ y²

y²=625-400

y²=225

y=√225

y=15

Feito os cálculos (recorrendo ao teorema de Pitágoras) constatamos que medida do lado y do triângulo a vale 15 cm

Trigonometria no triângulo rectângulo

3. Qual é a mediado do maior lado de um triângulo rectângulo os dois lados menores valem 12cm e 16cm.

O maior lado de um triângulo rectângulo é a hipotenusa, vamos desenhar um triângulo com as medidas dadas para facilitar a compressão

Dados

C2=16cm

C1=12cm

h=?

Formula

h²=C²1+ C²2

Resolução

h²=12²+16²

h²=144+256

h²=144+256

h²=400

h=√400

h=20 cm

A medida do maior lado do triângulo corresponde a medida da hipotenusa e feito os cálculos usando o teorema de Pitágoras podemos ver que a medida da hipotenusa (maior lodo do triângulo) vale 20 cm.

4.Calcule a altura da Maria

Dados

Observando a figura podemos notar que a altura da Maria representa um dos catetos do triângulo, portando pode ser determinado usando o teorema de Pitágoras.

Representaremos a altura da Maria como H,  a hipotenusa como h (a partir da figura h=245) e o outro cateto como C1 (C1=147 de acordo com a figura).

h=245cm

C1=147cm

H=?

Formula

h²=C²1+H²

Resolução

245²=147²+H²

60025=21609+ H²

H²=60025-21609

H²=38416

H=√38416

H=196cm

A altura da Maria é de 1m e 96cm

5.Usando o teorema de Pitágoras, calcule a medida dos catetos de um triângulo rectângulo sabendo que a media de um dos catetos é dobro do outro e a hipotenusa vale 20 dm

Dados

C2=2C1

 Resolução

h²=C²1+ C²2

20²= C²1+ (2 C1)²

400= C²1+4 C²1

400= 5 C²1

5 C²1=400

C²1=400/5

C²1=80

C1=√80

C1=√(16•5)

C1=4√5

Inicialmente dissemos que a medita do cateto dois é o doutro do cateto um, a partir dessa relação vamos determinar a medida do cateto dois.

C2=2C1

C2=2•4√5

C2=8√5

As medidas dos catetos são 4√5 dm e 8√5 dm.

6. Em um triângulo rectângulo ABC sabe se que a medida de AC é 6cm e AB é 8cm determine a medida do lado BC

Primeiramente vamos desenhar o triângulo rectângulo

A medida BC é a hipotenusa do triângulo rectângulo ABC, para a determinação (para o calculo da sua medida) usaremos o teorema de Pitágoras

Dados

AB=6cm

AC=8cm

BC=?

Formula

BC²=AB²+ AC²

Resolução

BC²=6²+8²

BC²=36+64

BC²=100

BC=√100

BC=10cm

 A partir do teorema de Pitágoras podemos determinar o valor de BC e é 10cm

Exercícios sobre teoremas de Pitágoras para praticar

1.Para o triângulo abaixo determine a mede do lado y

2.Qual é a mediado do menor lado de um triângulo rectângulo sendo que os dois lados maiores a este medem 350cm e 256cm

3.Calcule a altura da casa utilizando o teorema de Pitágoras

4.Usando o teorema de Pitágoras calcule a medida do dos catetos de um triângulo rectângulo sabendo que a medida da hipotenusa é o triplo da medida de um dos catetos e o outro vale 5 cm.

5. Em um triângulo ABC sabe se que a medida de AB é 25cm e BC é 32cm determine a medida do lado AC sabendo que este é um triângulo rectângulo.

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