Depois de termos aprendendo o conceito de derivada agora é a hora de aprendemos a calcular derivada de funções.
Primeiramente aprenderemos como calcular deriva de uma função to tipo f(x)=xⁿ, deriva quando a variável x esta dentro da raiz e a também a deriva de uma constante onde ir os ver que a deriva de uma constante é igual a zero.
Derivada da função f(x)=xⁿ
Para fazer a demonstração da derivada da função f(x)=xn iremos usar o conceito de derivada usando limites .Demonstração
Vamos recorrer ao binómio de Newton para fazer o desenvolvimento do caso notável (x+h)ⁿ que fazendo o desenvolvimento e substituindo no limite a derivada para acha temos:
“Se nos tivermos uma função f(x)=xn para achar a sua derivada a gente abaixo o n e no exponente no n a gente tira um “
Determine a derivadas as funções abaixo
a)Calcule a derivada da função y=x³
y=x³
y’= 3x³-¹
y’= 3x²
b) Calcule a derivada da função y=2x⁶
Para calcular essa derivada devemos saber que quando uma constante esta a multiplicar uma função a deriva será igual a derivada da função que a contaste esta multiplicar vezes a própria constante.
y=2x⁶
y’=2•(x⁶)’
y’= 2•6 x⁶-¹
c)Calcule a derivada da função y=x-⁴
y=x-⁴
y’=-4 x-⁴-¹
y’=-4 x-⁵
Com o conhecimento de derivada de função que nos já aprendemos a até aqui aparentemente não podemos resolver essa deriva mais é possível sim, vamos passar o x para o numerador uma vês que eles esta elevado a um quando passa para o numerador o exponente fica menos um, que quando x passa para o numerador podemos facilmente derivar.
Para derivar essa função vamos transformar a raiz em uma potencia uma vez que ainda não aprendemos derivadas de funções irracionais.
Derivada uma constante
y=a
y=ax°
y’= a•0 x°-¹
y’=0
“A derivada de uma constante é igual a zero“
Calcule a derivadas das funções constantes
a) Calcule a derivada da função y=3
Três é uma constante então a derivada da função y=3 será zero
a)y=3
y’=0
b) Calcule a derivada da função y=√5
y=√5 tem derivada nula (igual a zero pois √5 é uma constante)
b)y=√5
y’=0
c) Calcule a derivada da função y= π
A derivada da função y= π será zero pois π é uma constante (π=3,14…)
c) Calcule a derivada da função y= π
y= π
y’=0
Mais exercícios derivada de uma constante
| a)y=5 y’=0 | c)y=4 π y’=0 | e)y=0 y’=0 |
| b)y=-2000 y’=0 | d)y=√2 y’=0 | f)y=-34 y’=0 |
Derivada de uma função linear
y=ax
y=ax¹
y’= a•1 x¹-¹
y’=ax°
y’=a
“A derivada de uma função lineary=ax+b é y’=a uma vez que b é uma constante e a derivada de uma constante é zero e a devida de y=ax é a.”
y=ax+b
y’= (ax)’+(b)
y’= a+0
y’= a
Exercícios resolvidos deriva de uma função linear
a)Calcule a derivada da função y=3x
y=3x
y’=3
b) Calcule a derivada da função y=5x
y=5x
y’=5
c) Calcule a derivada da função y=6x
y=6x
y’=6
Derivada de uma soma
Tendo uma função composta por uma soma de duas ou mais funções e nos queremos a achar a sua derivada basta fazemos a soma da derivada de cada uma das funções.
y=u+v
y’=u’+v’
Exercícios resolvidos sobre derivada de uma soma
a) Calcule a deriva da função f(x)= x⁴+x⁶
A função f(x)= x⁴+x⁶ representa a soma da função g(x)= x⁴ e a função k(x)= x⁶ então estamos diante de uma derivada de uma soma e como vimos acima a derivada de f(x) será igual a soma da derivada das duas funções.
f(x)=x⁴+x⁶
f’(x) = (x⁴)’+(x⁶)’
f’(x)= 4x³+6x⁵
b)Calcule a deriva da função f(x)=3x²-x⁵+9
f(x)=3x²-x⁵+9
f’(x)= (3x²)’-(x⁵)’+(9)’
f’(x)=3•2x-5x⁴+0
f’(x)=6x-5x⁴
c)Calcule a deriva da função g(x)=5x²⁵-4x⁵-4x+12
g(x)=5x²⁵-4x⁵-4x+12
g’(x)=(5x²⁵)’-(4x⁵)’-(4x)’+(12)’
g’(x)=5•25x²⁴-4•5x⁴-4
g’(x)=125x²⁴-20x⁴-4
d)Calcule a derivada da função g(x)=-x⁵-4x²
g(x)=-x⁵-4x²
g’(x)=-5x⁴-8x
e)Calcule a derivada da função f(x)=-5x⁴-8x
f(x)=-5x⁴-8x
f(x)=-20x⁴-8
Exercícios para praticar derivadas de funções
