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Lógica Matemática ( operações lógicas e proposições)

Lógica Matemática

A lógica matemática estuda o raciocínio matemático

Valor lógico

Os valores lógicos são verdadeiro e falso (V e F)

O que é uma preposição?

Uma preposição é uma expressão lógica que pode ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso)

Exemplo de preposição

  • 2+3=5
  • 3>4
  • 23=8
  • 2=6

Note que em todos as expressões é possível atribuir um valor lógico (dizer se é verdadeiro ou falso) 

Quando é que duas preposições são equivalentes ?

Duas preposições são equivalentes se tiverem o mesmo valor lógico.

Designação

O que é uma designação?

Designação é uma expressão com significado que designa um objecto.

Exemplos de designação

  • Matemática
  • lógica
  • 2+3
  • 7

Operações lógicas

As principais operações lógicas são ;

  • Conjunção
  • Disjunção
  • Implicação
  • Equivalência

Conjunção

Na conjunção de duas preposições é verdadeira se as duas preposições forem verdadeiras.

-A conjunção de representa-se por “ᴧ” e lese por “e”.

pqpᴧq
VVV
VFF
FVF
FFF

Na conjunção é aplicável a propriedade comutativa

  • pᴧq= qᴧp

Na conjunção o valor lógico V é elemento Neutro e F é elemento Absorvente.

  • Vᴧq=q
  • Fᴧq=F

Disjunção

Na disjunção de duas preposições é verdadeira se pelo menos uma das preposições forem verdadeiras.

-A disjunção de representa-se por “ᴠ” e lese por “ou”.

pqpᴠq
VVV
VFV
FVV
FFF

Na disjunção é aplicável a propriedade comutativa

  • pᴠq= qᴠp

Na disjunção o valor lógico V é elemento Absorveste e F é elemento Neutro.

  • Vᴠq=V
  • ᴠq=q

Implicação

Na Implicação de duas preposições é falsa se a primeira preposição for verdadeira e a segunda for falsa.

-A Implicação de representa-se por “→” e lese por “então”.

PqP → q
VVV
VFF
 FVV
FFV

Na Implicação de duas ou mais preposições não é aplicável a propriedade comutativa

  • p→q ≠ q→p

Na Implicação basta que a primeira preposição é ser falsa significa que a preposição é verdadeira.  

  • F→q=V

Se a primeira preposição for verdadeira a expressão tomará o valor lógico da segunda preposição

  • V→q=q

Equivalência

Na equivalência de duas preposições é verdadeira se as duas preposições tiverem o mesmo valor lógico.

-A equivalência de representa-se por “↔” e lese por “Se somente se”.

PqP ↔ q
VVV
VFF
 FVF
FFV

Na equivalência é aplicável a propriedade comutativa

  • p↔q= q↔p

Na equivalência o valor lógico V é elemento Neutro. Se uma das preposições for falsa o valor lógico da expressão será o negado da outro expressão e as preposições tiverem o mesmo valor lógico a preposição será verdadeira.

  • V↔q=q
  • F↔q= ~ q
  • p↔p=V

Negação de preposições

Negar que uma preposição é falsa significa assumir que a preposição é verdadeira e negar que uma preposição é verdadeira significa assumir que a preposição é falsa

P~P
VF
FV

Negação de operação lógicas

Lei de Morgan

Negação de uma conjunção

Para fazemos a negação da conjunção da preposição “pᴧq” negamos a primeira preposição (p) “sua negação é ~p” e transformamos ᴧ em ᴠ e negamos a segunda preposição q “sua negação é ~q”.

  •  ~(pᴧq)=~pᴠ~q

Negação de uma disjunção

Para fazemos a negação da disjunção da preposição “pᴠq” negamos a primeira preposição (p) “sua negação é ~p” e transformamos ᴠ em ᴧ e negamos a segunda preposição q “sua negação é ~q”.

  • ~(pᴠq)=~pᴧ~q

Negação de uma Implicação

Para fazer a negação de uma implicação devemos conhecer as seguinte propriedade lógica;

p→q=~pᴠq

Que podemos demonstrar a partir da seguinte tabela de verdade

Pq~pp→q~pᴠq
VVFVV
VFFFF
 FVVVV
FFVVV

Agora que já conhecemos a propriedade “p→q=~pᴠq“ podemos fazer a negação da implicação primeiro transformado a preposição p→q em ~pᴠq e de seguida aplicar as leis de Morgan;

  • ~(p→q)=~(~pᴠq)=~~pᴧq=pᴧ~q

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