Lógica Matemática
A lógica matemática estuda o raciocínio matemático
Valor lógico
Os valores lógicos são verdadeiro e falso (V e F)
O que é uma preposição?
Uma preposição é uma expressão lógica que pode ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso)
Exemplo de preposição
- 2+3=5
- 3>4
- 23=8
- 2=6
Note que em todos as expressões é possível atribuir um valor lógico (dizer se é verdadeiro ou falso)
Quando é que duas preposições são equivalentes ?
Duas preposições são equivalentes se tiverem o mesmo valor lógico.
Designação
O que é uma designação?
Designação é uma expressão com significado que designa um objecto.
Exemplos de designação
- Matemática
- lógica
- 2+3
- 7
Operações lógicas
As principais operações lógicas são ;
- Conjunção
- Disjunção
- Implicação
- Equivalência
Conjunção
Na conjunção de duas preposições é verdadeira se as duas preposições forem verdadeiras.
-A conjunção de representa-se por “ᴧ” e lese por “e”.
p | q | pᴧq |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Na conjunção é aplicável a propriedade comutativa
- pᴧq= qᴧp
Na conjunção o valor lógico V é elemento Neutro e F é elemento Absorvente.
- Vᴧq=q
- Fᴧq=F
Disjunção
Na disjunção de duas preposições é verdadeira se pelo menos uma das preposições forem verdadeiras.
-A disjunção de representa-se por “ᴠ” e lese por “ou”.
p | q | pᴠq |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Na disjunção é aplicável a propriedade comutativa
- pᴠq= qᴠp
Na disjunção o valor lógico V é elemento Absorveste e F é elemento Neutro.
- Vᴠq=V
- ᴠq=q
Implicação
Na Implicação de duas preposições é falsa se a primeira preposição for verdadeira e a segunda for falsa.
-A Implicação de representa-se por “→” e lese por “então”.
P | q | P → q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
Na Implicação de duas ou mais preposições não é aplicável a propriedade comutativa
- p→q ≠ q→p
Na Implicação basta que a primeira preposição é ser falsa significa que a preposição é verdadeira.
- F→q=V
Se a primeira preposição for verdadeira a expressão tomará o valor lógico da segunda preposição
- V→q=q
Equivalência
Na equivalência de duas preposições é verdadeira se as duas preposições tiverem o mesmo valor lógico.
-A equivalência de representa-se por “↔” e lese por “Se somente se”.
P | q | P ↔ q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
Na equivalência é aplicável a propriedade comutativa
- p↔q= q↔p
Na equivalência o valor lógico V é elemento Neutro. Se uma das preposições for falsa o valor lógico da expressão será o negado da outro expressão e as preposições tiverem o mesmo valor lógico a preposição será verdadeira.
- V↔q=q
- F↔q= ~ q
- p↔p=V
Negação de preposições
Negar que uma preposição é falsa significa assumir que a preposição é verdadeira e negar que uma preposição é verdadeira significa assumir que a preposição é falsa
P | ~P |
V | F |
F | V |
Negação de operação lógicas
Lei de Morgan
Negação de uma conjunção
Para fazemos a negação da conjunção da preposição “pᴧq” negamos a primeira preposição (p) “sua negação é ~p” e transformamos ᴧ em ᴠ e negamos a segunda preposição q “sua negação é ~q”.
- ~(pᴧq)=~pᴠ~q
Negação de uma disjunção
Para fazemos a negação da disjunção da preposição “pᴠq” negamos a primeira preposição (p) “sua negação é ~p” e transformamos ᴠ em ᴧ e negamos a segunda preposição q “sua negação é ~q”.
- ~(pᴠq)=~pᴧ~q
Negação de uma Implicação
Para fazer a negação de uma implicação devemos conhecer as seguinte propriedade lógica;
p→q=~pᴠq
Que podemos demonstrar a partir da seguinte tabela de verdade
P | q | ~p | p→q | ~pᴠq |
V | V | F | V | V |
V | F | F | F | F |
F | V | V | V | V |
F | F | V | V | V |
Agora que já conhecemos a propriedade “p→q=~pᴠq“ podemos fazer a negação da implicação primeiro transformado a preposição p→q em ~pᴠq e de seguida aplicar as leis de Morgan;
- ~(p→q)=~(~pᴠq)=~~pᴧq=pᴧ~q
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