Derivada de funções implícitas

Antes de aprendermos a derivar uma função implícita é necessário saber o que é uma função implícita!

Definição de função implícita

Uma função implícita é uma função do tipo F(x,y)=0

Exemplo de função implícita

a)x+y=0

b)ln(x)+sen(x+y)=0

c)x²+y²+3=3x

d)(x+y)²+4ln(x)=sen(x)

Como derivar uma função implícita

Para derivar uma função implícita vamos usar as mesma regras de derivada que aprendemos ante aqui.

Dica prática para derivar a função implícita

Ao derivada uma derivar uma função implícita temos de ter em conta que estamos a derivar y em relação a x então;

-A derivada de y será; (y)’=y’

-A derivada de x será (x)’=1

Exercícios resolvidos sobre derivada de função implícita

a) Calcule a derivada da função implícita  y+x²=1

Estamos perante uma função implícita, para achar y’ iremos derivar ambos membros.

y+x²=1

(y)’+(x²)’=(1)’

A derivada de y é y’ e a derivada de x² é (x²)’=2x e a deriva de 1 é zero.

y’+2x=0

y’=-2x

b) Encontre a derivada da função y⁴+x²=2x³

A função esta na forma implícita, para achar a derivada vamos derivar cada parcela.

y⁴+x²=2x³

(y⁴)’+(x²)’=(2x³)’

“A derivada de y⁴ é =(y⁴)’=4y³y’ e a derivada de x² é (x²)’=2x e a deriva de (2x³) é (2x³)’=6x².”

4y³y’+2x=6x²

4y³y’=6x²–2x

y’=(6x²–2x)/4y³

y’=(3x²–x)/2y³

c) Encontre a derivada da função implícita  y²+x²=9

Iremos derivar de forma análogo aos primeiros exercícios

y²+x²=9

2yy’+2x=0

2yy’=-2x

y’=-2x/2y

y’=-x/y

d) Ache a derivada de primeira ordem da função implícita  yx+sen(x)=2x

Vamos derivar derivando cada parcela da soma

(yx)’+(sen(x))’=(2x)’

“(xy)’ é uma derivada do produto e é igual a y’x+yx’ e a deriva de sen(x) é cos(x) e derivada de 2x é 2“

y’x+yx’+cos(x)=2

“já sabemos que x’=1”

y’x+y•1+cos(x)=2

y’x+y+cos(x)=2

y’x=2-cos(x)-y

y’=[2-cos(x)-y]/x

e)Encontre a derivada de y⁴x+x³=cos(x+2y)+5

y⁴x+x³=cos(x+2y)+5

(y⁴x)’+(x³)’=[cos(x+2y)]’+(5)’

(y⁴)’x+ y⁴(x)’+3x²=-(x+2y)’sen(x+2y)+0

4y³y’x+ y⁴•1+3x²=-[(x)’+(2y)’]sen(x+2y)

4y³y’x+ y⁴+3x²=-(1+2y’)sen(x+2y)

4y³y’x-2y’sen(x+2y)=-sen(x+2y)– y⁴-3x²

y’[4y³x-2en(x+2y)]=-sen(x+2y)– y⁴-3x²

y’=[-sen(x+2y)– y⁴-3x²]/[4y³x-2en(x+2y)]

f)calculo y’ se y=cos(y)+2x

y=cos(y)+2x

y’=-y’sen(y)+2

Forma de derivada de função implícita

Para além de derivar a função implícita usando o método de resolução que nos vimos acima podemos derivar usando uma forma que veremos abaixo;

Seja a função implícita F(x,y) então a sua deriva pode ser calculada com base na formula;

*Onde  F’ (x,y)x  significa derivar F em relação a x ,tendo em conta que y é constante

*Onde  F’ (x,y)y  significa derivar F em relação a y ,tendo em conta que x é constante

Exercícios de derivada de função implícita usando a fórmula;

a)Usando a forma da deriva da função implícita calcule a derivada de x²+y²=16

Para calcular a derivada da função implícita x²+y²=16 primeiro devemos colocar a função na forma F(x,y)=0 faremos isso passando o 16 para o primeiro metro depois disso é so usar a formula que vimos acima.

x²+y²=16

x²+y²-16=0 logo;F(x,y)= x²+y²-16

Nota ; No numerados seguido a forma da derivada de funções implícita nos derivamos em relação a x e y é considerado uma constante (y²)’=0

No denominador derivamos em relação a y e x é considerado uma constante logo (x²)’=0

b) Calcule a derivada de x⁴+3x³y²=-xsen(y)

Para calcular a derivada da função implícita x⁴+3x³y²=-xsen(y) primeiro devemos colocar a função na forma F(x,y)=0 faremos isso passando o – xsen(y) para o primeiro metro depois disso é só aplicar a formula da derivada.

x⁴+3x³y²=-xsen(y) da função implícita

x⁴+3x³y²+xsen(y)=0entao F(x,y)= x⁴+3x³y²+xsen(y)

Nota ; De acordo com a formula da derivada de funções implícitas No numerador nos derivamos em relação a x e y é considerado uma constante logo (3x³y²)’=9x²y² uma vez que y é constante, e [ xsen(y)]’=sen(y) pois y é constante então sen(y) também seja uma constante, como se fosse (ax)’=a onde no nosso caso o nosso “a” é sen(y).

No denominador derivamos em relação a y e x é considerado uma constante lodo (3x³y²)’=6x³y uma vez que x é constante, e [ xsen(y)]’=xcos(y) pois x é constante.

-No denominador derivamos em relação a y e x é considerado uma constante logo (x²)’=0

Derivada de ordem superior para uma função implícita

O cálculo da derivada de ordem superior é feito derivado a expressão da primeira derivada atem encontrar a derivada de ordem desejada.

Exercícios de calculo de derivadas de ordem superior

a)Calcule a deriva de segunda ordem para a função y+ 4x= -x+3y²

y+ 4x= -x+3y²

(y)’+ (4x)’= (-x)’+(3y²)’

y’+ 4= -1+6yy’

(y’)’+ (4)’= (-1)’+(6yy’)’

y’’+ 0= 0+6y’y’+6yy’’

y’’= 6y’y’+6yy’’

y’’-6yy’’= 6y’y’

y’’(1-6y)= 6y’y’

y’’= 6y’y’|(1-6y)

b)Calcule a deriva de ordem dois para a função 2y⁴+ 5= -3x+x²

2y⁴+ 5= -3x+x²

(2y⁴)’+ (5)’= (-3x)’+(x²)’

8y³y’+ 0= -3+2x

8y³y’= -3+2x

(8y³y’)’= (-3)’+(2x)’

24y²y’y’+8y³y’’= 0+2

24y²y’y’+8y³y’’= 2

8y³y’’= 2–24y²y’y’

y’’= [2–24y²y’y’]/8y³

c)Calcule a deriva de segunda ordem para a função y+ycos(x)+4x=x³-y

y+ycos(x)+4x=x³-y

y’+y’cos(x)+ y[cos(x)]’+(4x)’=(x³)’-y’

y’+y’cos(x)- ysen(x)+4=3x²-y’

y’’+(y’)’cos(x)+ y’[cos(x)]’-{ y’sen(x)+ y[sen(x)]’}+(4)=(3x²)’-(y’)’

y’’+y’’cos(x) -y’sen(x)-y’sen(x)- ycos(x)+0=6x-y’’

y’’+y’’cos(x) -2y’sen(x)- ycos(x)=6x-y’’

y’’+y’’cos(x) +y’’=6x+2y’sen(x)+ ycos(x)

y’’(1+cos(x) +1)=6x+2y’sen(x)+ ycos(x)

y’’(2+cos(x))=6x+2y’sen(x)+ ycos(x)

y’’=[6x+2y’sen(x)+ ycos(x)]/(2+cos(x))

Exercícios de derivada de funções paramétricas para praticar

a) Calcule a derivada da função implícita  y+x=2

b) Ache a derivada da função implícita  4y+x²=4x

c) Encontre a derivada da função implícita  ysen(y)+(yx)²=ln(2)

d) Calcule a derivada da função implícita  ln(y+x²)=xy-2

2.Usando a forma de derivada de funções implícita calcule a derivada de;

a)y⁴+x-2x=0

b)y+x²=4x

c) ysen(y)+(yx)²=xln(y)

d) ln(y+x²)+sen(x)=-2xy

3.Derivadas de ordem superior

a)Calcule a deriva de ordem dois para a função 2y⁴+ 5xy= -3x+x²

b)Ache y’’’ para a função 2y⁴+ 5xy= -3x+x²

c)Encontre a derivada de segunda ordem para a função implícita 2x²y⁴+ xy= yx²+4

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Mais derivadas