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Aplicação da primeira e segunda derivada extremos e ponto de infecção

Estudo da primeira derivada

Seja uma função f(x) continua

Assim temos representado os gráficos de uma função f (x) e sua derivada f ’(x)

Notamos claramente que;

 ]- ∞, b[b]b, d[d]d,+ ∞[
f (x)MáximoMínimo
f ’(x)+00

Ou seja

* Sempre que a deriva da função f(x) for positiva a função f(x) é crescente.

f ’(x)>0       f (x) é crescente

* Sempre que a deriva da função f(x) for negativa a função f(x) é decrescente.

f ’(x)<0       f (x) é decrescente

Ponto máximo e ponto mínimo são pontos em que a primeira derivada é nula (f ’(x)=0 )

Como saber se um ponto é máximo ou mínimo

* Um ponto é máximo se a derivada muda de positivo para negativo.

* Um ponto é mínimo se a derivada muda de negativo para positivo.

Exemplo de aplicação

a)Determine os extremos máximos e mínimos para a função;

Resolução

Para encontrar os pontos máximos e mínimos devemos achar a primeira derivada e depois igual a zero

Vamos igualar a derivada a zero

x=-3 e x=3

Para saber qual deles é máximo e qual é mínimo vamos esboçar o gráfico da primeira deriva

Como no ponto x=-3 a derivada muda de positivo para negativo diremos que

X=-3 extremo máximo

Como no ponto x=3 a derivada muda de negativo para positivo diremos que

X=3 extremo mínimo

Não deixe de ver;

Como fazer calculo aproximado usando derivadas ?

Estudo da segunda derivada

f (x)UPonto de infecção
f ’’(x)0

Ou seja

* Sempre que a segunda deriva da função f(x) for positiva a função f(x) tem concavidade voltada para cima.

f ’’(x)>0       f (x) tem concavidade voltada para cima.

* Sempre que a segunda deriva da função f(x) for negativa a função f(x) tem concavidade voltada para baixo.

f ’’(x)<0       f (x) é tem concavidade voltada para baixo.

Ponto de infecção é o ponto em que a função muda de sentido de concavidade e a segunda derivada nesse ponto é nula (f ’’(x)=0­ )

Exemplo de aplicação

b)Determine o ponto de infecção para a função

Resolução

Para calcular o ponto de infecção precisamos de achar a segunda derivada e depois igual a zero

Como ponto de infecção é um ponto em que a segunda derivada é igual a zero, iremos igual a segunda derivada a zero

Teste da segunda derivada

Também é possível saber se um ponto é máximo ou mínimo a partir do teste da segunda derivada vamos representar uma função f(x)

Notamos que o extremo máximo é b e nesse ponto a função f(x) tem concavidade voltada para baixo isso significa que a segunda deriva é negativa. e d é um extremo mínimo e nesse ponto a função tem concavidade voltada para cima isso significa que a segunda deriva é positiva

De um modo geral podemos dizer que;

Extremo máximo se;  f ’’(x )=0  e  f ’’(x)<0      

Extremo mínimo se;  f ’’(x )=0  e  f ’’(x)>0      

Exemplo de aplicação

C) Calcule os extremos máximos e mínimos e encontre os respectivos pontos máximos e mínimo para a função;

Resolução

Para encontrar os pontos máximos e mínimos devemos achar a primeira derivada e depois igual a zero

Vamos igual a primeira derivada a zero

y’= 0

Para ver qual e máximo e qual e mínimo vamos usar o teste da segunda deriva

Como no ponto x=-2 a primeira derivada é igual a zero e a segunda derivada é negativa diremos que x=-2 é um extremo máximo

Como no ponto x=2 a primeira derivada é igual a zero e a segunda derivada é positiva diremos que x=-2 é um extremo mínimo.

Agora vamos calcular os pontos máximos e mínimos da função


Aplicação da primeira e segunda derivada extremos e ponto de infecção

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