Antes de aprendermos a derivar uma função implícita é necessário saber o que é uma função implícita!
Definição de função implícita
Uma função implícita é uma função do tipo F(x,y)=0
Exemplo de função implícita
a)x+y=0
b)ln(x)+sen(x+y)=0
c)x²+y²+3=3x
d)(x+y)²+4ln(x)=sen(x)
Como derivar uma função implícita
Para derivar uma função implícita vamos usar as mesma regras de derivada que aprendemos ante aqui.
Dica prática para derivar a função implícita
Ao derivada uma derivar uma função implícita temos de ter em conta que estamos a derivar y em relação a x então;
-A derivada de y será; (y)’=y’
-A derivada de x será (x)’=1
Exercícios resolvidos sobre derivada de função implícita
a) Calcule a derivada da função implícita y+x²=1
Estamos perante uma função implícita, para achar y’ iremos derivar ambos membros.
y+x²=1
(y)’+(x²)’=(1)’
A derivada de y é y’ e a derivada de x² é (x²)’=2x e a deriva de 1 é zero.
y’+2x=0
b) Encontre a derivada da função y⁴+x²=2x³
A função esta na forma implícita, para achar a derivada vamos derivar cada parcela.
y⁴+x²=2x³
(y⁴)’+(x²)’=(2x³)’
“A derivada de y⁴ é =(y⁴)’=4y³y’ e a derivada de x² é (x²)’=2x e a deriva de (2x³) é (2x³)’=6x².”
4y³y’+2x=6x²
c) Encontre a derivada da função implícita y²+x²=9
Iremos derivar de forma análogo aos primeiros exercícios
y²+x²=9
2yy’+2x=0
d) Ache a derivada de primeira ordem da função implícita yx+sen(x)=0
Vamos derivar derivando cada parcela da soma
(yx)’+(sen(x))’=(2x)’
“(xy)’ é uma derivada do produto e é igual a y’x+yx’ e a deriva de sen(x) é cos(x) e derivada de 2x é 2“
y’x+yx’+cos(x)=0
“já sabemos que x’=1”
y’x+y•1+cos(x)=0
y’x+y+cos(x)=0
e)Encontre a derivada de y⁴x+x³=cos(x+2y)+5
y⁴x+x³=cos(x+2y)+5
(y⁴x)’+(x³)’=[cos(x+2y)]’+(5)’
(y⁴)’x+ y⁴(x)’+3x²=-(x+2y)’sen(x+2y)+0
4y³y’x+ y⁴•1+3x²=-[(x)’+(2y)’]sen(x+2y)
4y³y’x+ y⁴+3x²=-(1+2y’)sen(x+2y)
f)calculo y’ se y=cos(y)+2x
y=cos(y)+2x
y’=-y’sen(y)+2
Forma de derivada de função implícita
Para além de derivar a função implícita usando o método de resolução que nos vimos acima podemos derivar usando uma forma que veremos abaixo;
Seja a função implícita F(x,y) então a sua deriva pode ser calculada com base na formula;
*Onde F’ (x,y)x significa derivar F em relação a x ,tendo em conta que y é constante
*Onde F’ (x,y)y significa derivar F em relação a y ,tendo em conta que x é constante
Exercícios de derivada de função implícita usando a fórmula;
a)Usando a forma da deriva da função implícita calcule a derivada de x²+y²=16
Para calcular a derivada da função implícita x²+y²=16 primeiro devemos colocar a função na forma F(x,y)=0 faremos isso passando o 16 para o primeiro metro depois disso é so usar a formula que vimos acima.
x²+y²=16
x²+y²-16=0 logo;F(x,y)= x²+y²-16
Nota ; No numerados seguido a forma da derivada de funções implícita nos derivamos em relação a x e y é considerado uma constante (y²)’=0
No denominador derivamos em relação a y e x é considerado uma constante logo (x²)’=0
b) Calcule a derivada de x⁴+3x³y²=-xsen(y)
Para calcular a derivada da função implícita x⁴+3x³y²=-xsen(y) primeiro devemos colocar a função na forma F(x,y)=0 faremos isso passando o – xsen(y) para o primeiro metro depois disso é só aplicar a formula da derivada.
x⁴+3x³y²=-xsen(y) da função implícita
x⁴+3x³y²+xsen(y)=0entao F(x,y)= x⁴+3x³y²+xsen(y)
Nota ; De acordo com a formula da derivada de funções implícitas No numerador nos derivamos em relação a x e y é considerado uma constante logo (3x³y²)’=9x²y² uma vez que y é constante, e [ xsen(y)]’=sen(y) pois y é constante então sen(y) também seja uma constante, como se fosse (ax)’=a onde no nosso caso o nosso “a” é sen(y).
No denominador derivamos em relação a y e x é considerado uma constante lodo (3x³y²)’=6x³y uma vez que x é constante, e [ xsen(y)]’=xcos(y) pois x é constante.
-No denominador derivamos em relação a y e x é considerado uma constante logo (x²)’=0
Derivada de ordem superior para uma função implícita
O cálculo da derivada de ordem superior é feito derivado a expressão da primeira derivada atem encontrar a derivada de ordem desejada.
Exercícios de calculo de derivadas de ordem superior
a)Calcule a deriva de segunda ordem para a função y+ 4x= -x+3y²
y+ 4x= -x+3y²
(y)’+ (4x)’= (-x)’+(3y²)’
y’+ 4= -1+6yy’
(y’)’+ (4)’= (-1)’+(6yy’)’
y’’+ 0= 0+6y’y’+6yy’’
y’’= 6y’y’+6yy’
b)Calcule a deriva de ordem dois para a função 2y⁴+ 5= -3x+x²
2y⁴+ 5= -3x+x²
(2y⁴)’+ (5)’= (-3x)’+(x²)’
8y³y’+ 0= -3+2x
8y³y’= -3+2x
(8y³y’)’= (-3)’+(2x)’
24y²y’y’+8y³y’’= 0+2
24y²y’y’+8y³y’’= 2
c)Calcule a deriva de segunda ordem para a função y+ycos(x)+4x=x³-y
y+ycos(x)+4x=x³-y
y’+y’cos(x)+ y[cos(x)]’+(4x)’=(x³)’-y’
y’+y’cos(x)- ysen(x)+4=3x²-y’
y’’+(y’)’cos(x)+ y’[cos(x)]’-{ y’sen(x)+ y[sen(x)]’}+(4)=(3x²)’-(y’)’
y’’+y’’cos(x) -y’sen(x)-y’sen(x)- ycos(x)+0=6x-y’’
y’’+y’’cos(x) -y’sen(x)-y’sen(x)- ycos(x)=6x-y’’
Exercícios de derivada de funções paramétricas para praticar
a) Calcule a derivada da função implícita y+x=2
b) Ache a derivada da função implícita 4y+x²=4x
c) Encontre a derivada da função implícita ysen(y)+(yx)²=ln(2)
d) Calcule a derivada da função implícita ln(y+x²)=xy-2
2.Usando a forma de derivada de funções implícita calcule a derivada de;
a)y⁴+x-2x=0
b)y+x²=4x
c) ysen(y)+(yx)²=xln(y)
d) ln(y+x²)+sen(x)=-2xy
3.Derivadas de ordem superior
a)Calcule a deriva de ordem dois para a função 2y⁴+ 5xy= -3x+x²
b)Ache y’’’ para a função 2y⁴+ 5xy= -3x+x²
c)Encontre a derivada de segunda ordem para a função implícita 2x²y⁴+ xy= yx²+4