Integrais por partes (calculo integral usando o método de integrais por partes)

Integrais por partes

A técnica de Integral por partes é uma técnica usada para simplificar a resolução de exercícios de integrais. O método de integrais por partes nos ajuda a resolução de exercícios de cálculo integral

Como surge a técnica de Integrais por partes

O meto de Integrais por partes surge da derivado do produto, e da necessidade de transformar uma integral complexa em uma outra integral mais simples.

Demonstração da fórmula de integrais por partes

Seja dadas duas função v e u a deriva do produto entre v e u é dada por;

(uv)’=vu’+uv’

d(uv)=vdu+udv

d(uv)=vdu+udv

udv =d(uv)-vdu

∫udv =∫d(uv) – ∫vdu

∫u dv =uv – ∫v du

Resolução de exercícios usando o método de integrais por partes

a) Calcule a seguinte integral; ∫xsen(x)dx

Vamos usar o método de integrar por partes ∫udv =∫d(vu) – ∫vdu onde diremos que u=x e dv=sen(x)dx e vamos achar “du” derivando “u”, e achatemos “v” integrando “dv”.

∫xsen(x)dx

u=x     … sen(x)dx=dv

du=dx   … – cos(x)= v

∫xsen(x)dx=-xcos(x) + ∫cos(x)dx

               =-xcos(x) + sen(x) + c

b) Calcule a seguinte Integral ∫ x⁴ ln(x²)dx

∫ x⁴ ln(x²)dx

u=ln(x²)     ….. x⁴dx=dv

du=2x/x² dx   …. x⁵_/5 = v

c) calcule a integral; ∫ ln(x)dx

Recorrendo ao método de integrar por partes onde diremos que u=ln(x) e dv=dx;

u=ln(x)     … dx=dv

du=1/x dx   …. x= v

d) calcule a integral; ∫ sen(x)e^x dx

∫ sen(x)e^x dx

Vamos aplicar o método de integrais por partes

u=sen(x)     ….. e^xdx=dv

du=cos(x)dx   …. e^x= v

∫ sen(x) e^x dx= sen(x)e^x – ∫ cos(x)e^x  dx

Para calcular a integral ∫ cos(x)e^x  dx precisamos de voltar a usar o método de integrais por partes

I=∫ cos(x)e^x  dx

∫ sen(x) e^x = sen(x)e^x – I

u=cos(x)     ….. e^xdx = dv

du=-sen(x)dx   …. e^x = v

I= ∫ cos(x)e^x  dx =cos(x) e^x + ∫ sen(x)e^x dx

Vamos substituir essa expressão na nossa integral principal

∫sen(x)e^x = sen(x) e^x-cos(x) e^x – ∫ sen(x)e^x dx

Vamos passar ∫ sen(x)e^x dx do segundo membro para o primeiro membro

∫ sen(x) e^x dx+ ∫sen(x)e^x dx = sen(x) e^x – cos(x) e^x

2•∫ sen(x)e^x  dx= sen(x) e^x – cos(x) e^x

∫sen(x)e^x  dx= ½•(sen(x) e^x – cos(x) e^x )

∫sen(x)e^x  dx= ½•(sen(x) e^x – cos(x) e^x )+c

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