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Derivada de funções trigonométricas inversas (y=arcsen(x) e y=arccos(x))

Derivada de funções trigonométricas inversas

Dando inicio ao estuda das  derivada de funções trigonométricas inversas primeiro iremos aprender como derivar a função inversa arcsenx e a função arccosx primeiramente faremos a demonstração da formula que iremos usar para derivar as funções y=arcsenx e y=arccosx e de forma pratica iremos resolver e explicar os exercício abaixo;

Derivada da função inversa de seno (Derivada de função arcseno)

y=acsen(x)

Para calcular a Derivada da função y=arcsen(x) vamos colocar a função na forma x em função de y conforme sabemos se y=arcsen(x) então x=sen(y).

x=sen(y)

Tendo a função nessa forma já podemos derivar uma vez que conhecemos a derivada da função trigonométrica sen(y) e a derivada de x, então derivaremos ambos membros;

x’=(sen(y))’

x’=y’cos(x)

Vamos isolar a Derivada da função y (isolar y’) passando o cos(y) para dividir no outro membro

Vamos recorrer a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de cos(y) em relação a x.

No segunda passa dessa demonstração dissemos que x=sen(y) então onde tem sen(y) iremos substituir por x

Então na expressão da Derivada da função inversa onde tem cos(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arcsenx

Derivada da função inversa de cosseno (Derivada de função arccosseno)

y=arccos(x)

Para calcular a Derivada da função y=arccos(x) vamos colocar a função em na forma x(y) como fizemos para achara derivada da função arcseno .

x=cos(y)

Tendo a função nessa forma já podemos derivar uma vez que conhecemos a derivada da função trigonométrica cos(y) e a derivada de x, então derivaremos ambos membros;

x’=(cos(y))’

x’=–y’sen(y)

Vamos isolar y’ passando o sen(y) para dividir no outro membro

Vamos recorrer a identidade trigonométrica fundamental para calcular o valor de sen(y) em relação a x.

No segunda passa dessa demonstração dissemos que x=cos(y) então onde tem cos(y) iremos substituir por x

Então na expressão da Derivada da função inversa onde tem sen(y) iremos substituir por essa expressão e assim temos a derivada da função arccos(x)

Formula de derivada da função trigonométrica inversa

Exercício práticos derivadas de funções inversas arcseno e arccoseno

a)Calcule a derivada da função y=arcsen(3x)

Sabemos que se  y=arcsen(u) então a sua derivada é y’=u’/√(1-u² ) vamos aplicar essa forma tendo em conta que para o nosso exercício o u é 3x.

b)Calcule a derivada da função y=arccos(-x)

Se  y=arccos(u) então a sua derivada é y’=-u’/√(1-u² ) vamos aplicar essa forma tendo em conta que para o nosso exercício o u é -x.

c)Calcule a derivada da função y=arccos(x²+1)

 Aplicando o mesmo procedimento que os das alinhas anteriores [ y=arcsen(u) então a sua derivada é y’=u’/√(1-u² ) ] temos;

e)Calcule a derivada da função y=(x+2) arcsen(x)

g)Calcule a derivada da função y=arcsen[ln(x)]

Derivada da função arcsen(x) e arccos(x) exercícios para praticar

Calcule a derivas das funções trigonométricas inversas abaixo;


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