Limite exponencial (limite de Euler)

Limite exponencial são conhecido vulgarmente como limite de Euler, a indeterminação nos limites exponencial de Euler é um elevado a infinito.

Limite de Euler

Substituindo o x pela tendência temos:

Ai temos uma indeterminação do tipo um elevado a infinito como que eliminar essa indeterminação, para eliminar a indeterminação e conhecer o valor do limite vamos usar o auxilio da tabela onde como x tende a infinito faremos a substituição de números muito grande para vermos o valor do limite.

O 2.718282… é um número irracional (com dizimas infinitas não periódicas) praticamente impossível de memorizar então Em Homenagem ao matemático Euler 2.718282…= e então.

Propriedades para o cálculo de limites exponenciais

Demonstração

No nosso limite notável (No limite de Euler) temos (1+1/x) não (1+a/x) então faremos uma substituição a/x=1/t para podermos ter uma expressão idêntica ao nosso limite notável.

Calcules os seguintes limites exponenciais

Exercício #1 limites exponencial

Nesse limite comparando com a expressão demonstrada acima o nosso a é dois então este limite resulta em e²

Exercício #2 limites exponencial

Comparando a expressão (1+a/x) e (1-5/x) concluímos que o a vale menos cinco então limite vale e-⁵

Exercício #3 limites exponencial

De acordo com as propriedades de cálculo de limites podemos passar o limite para dentro do logaritmo, faremos isto e depois resolvermos o limite da mesma forma que os exercícios acima.

Irei omitir a explicação para enviar ser muito repetitivo pois a explicação dos exercícios a seguir é a mesma com os acima explicados.

Exercício de limites de Euler

Por vezes para calcular os limites exponencial será preciso fazer algumas operações matemática por o limite pode não ser tão simples de indicar o resultado. veja os exercícios a seguir

Exercício #7 limites exponencial

Esse limite tem uma indeterminação um elevado a infinito e o expoente é x-3 no limite notável que nos vimos temos apenas x como expoente então vamos separa a potência em dois produtos.

Exercício #8 limites exponencial

No nosso limite notável a parte que contem denominador só aparece x não x-1 então iremos substituir x-1 por t para termos um limite idêntico ao limite notável

Exercício #9 limites exponencial

vamos fazer uma substituição de variável

Exercício #10 limites exponencial

Vamos evidenciar o x no numerador assim como no denominador assim nos teremos expressões idênticas ao do limite notável, e então ai aplicaremos o conhecimento de limite notável.

Exercício #11 limites exponencial

Vamos evidenciar o 4x no numerador assim como no denominador assim nos teremos expressões idênticas ao do limite notável, e então ai aplicaremos o conhecimento de limite notável.

Exercício #12 limites exponencial

Vamos evidenciar o x no numerador assim como no denominador assim nos teremos expressões idênticas ao do limite notável, e então ai aplicaremos o conhecimento de limite notável.

Exercício #13 limites exponencial

O limite de (x+2)/(4x+6) quando x tende a infinito é ¼ e ¼ elevado a infinito da zero então este limite da zero

Propriedade de limite exponencial

Demonstração de limite exponencial

De maneira geral;

Calcule;

De um modo geral

Então: o limite pode ser transformando em :

Exercício #16 limites exponencial

Temos um limite com indeterminação um elevado a infinito vamos aplicar o conhecimento adquirido de transformar esse limite em um outro onde na função f(x) tiramos uma unidade e multiplicamos por g(x)