Derivada da função tangente e co-tangente

Nesse aula veremos como derivar as funções tangente e co-tangente, os exercícios que iremos usar para aprender de forma como derivar funções trigonométricas tangente e co-tangente são os que vimos destacados na imagem acima, para ja vamos fazer a demonstração da derivada da função tangente.

Derivada da função tag(u)

Para achamos a derivada da função tangente vamos recordar que a função tangente é a razão entre a função seno e cosseno, uma vez que nos já aprendemos a derivar a função seno e cosseno já podemos derivar.

Agora que transformarmos tangente em um coeficiente da função seno e cosseno podemos derivar aplicando a regra da derivada do quociente.

No numerador temos a identidade trigonométrico fundamental que da um.

cos²(u)+sen²(u)=1 iremos substituir cos²(u)+sen²(u) por 1 e então no numerador ficamos apenas com u’.

A Derivada da função y=tan(u) é y’=u’/ cos²(u)

Derivada da função ctg(u)

Seguindo o mesmo pensamento que o anterior vamos relembrar que a função co-tangente é a razão entre a função cosseno e seno.

Vamos derivar aplicando a regra da derivada do quociente.

A Derivada da função y=ctg(u) é y’=-u’/ sen²(u)

Forma da derivada da funcao tangente e co-tangente

Derivada de função tag(x)

y=tag(x)

Para encontrar a deriva dessa função iremos usar a forma que nos demonstramos acima y=tag(u) → y’=u’/cos²(u) onde para o caso da função y=tag(x) o nosso u é o x

Derivada de função ctg(x)

y=ctg(x)

Para achar essa deriva iremos usar a forma que nos demonstramos acima y=ctg(u) → y’=-u’/ sen²(u) onde para o caso da função y=ctg(x) o nosso u é o x

y=ctg(x)

Exercícios sobre derivada da função tangente e função co-tangente

a)Calcule a derivada da função y=tag(x³+3x)

Podemos resolver logo aplicando a formula y=tag(u) → y’=u’/ cos²(u);

b)Calcule a derivada da função y=ctg(-x²+1)⁴

Para achamos a deriva da função y=ctg(-x²+1)⁴ vamos aplicar a forma da derivada função co-tangente y=ctg(u) → y’=-u’/ sen²(u) onde o nosso u é a função composta (-x²+1)⁴ iremos precisar de saber como derivar funções compostas.

c)Calcule a derivada da função y=(x+2) tag(x)

Aqui temos um produto entre a função (x+1) e a função tag(x) para derivar devemos recorrer a regra do produto.

Vamos derivar aplicando a fórmula da derivada da função co-tangente, e iremos precisar saber a derivada da função irracional uma vez que temos uma raiz.

Vamos seguir a mesma metodologia para derivar, a formula de derivada de tangente y=tan(u) → y’=u’/ cos²(u) sendo que o nosso u para o exercício é [1/(x²-4)] .

Temos um coeficiente entre a função ln(x) e a função tan(x) então para derivar vamos usar a regra do coeficiente.

Podemos simplificar essa expressão uma vez que cos²(x) uma vez que tag(x)= cos(x)sen(x) e cos²(x) tag²(x)=sen²(x) substituindo isso na equação temos;

Exercícios para praticar derivadas de funções trigonométricas derivada de tag(u) e ctg(u)

Usado o conhecimento de derivadas de função trigonométricas co-tangente e tangente e outras funções aprendidas anteriormente derive as funções abaixo;