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Derivada de funções compostas

Para aula de hoje iremos aprender a derivada de funções compostas e com esse conhecimento podemos derivar as funções abaixo

Como derivar uma função composta ?

Seja y=un onde u é uma função que depende de x, (u=u(x)) então y=un é uma função composta e a sua derivada pode ser calcula como;

y=uⁿ

y’=nun-1u’

a)Calcule a derivada da função f(x)=(2x+8)5 

A função f(x)=(2x+8)5 é uma função composta então para  calcular a sua derivada vamos usar a formula da derivada de uma função composta. f(x) é uma função composta do tipo f(x)=un e sua derivada é f'(x)=nun-1u’.

f(x)=(2x+8)5 

f'(x)=5(2x+8)5-1(2x+8)’

f'(x)=5(2x+8)4•2

f'(x)=5•2(2x+8)4

f'(x)=10(2x+8)4

b) Calcule a derivada da função y=(x⁶-3x+4)-5

Estamos diante de uma função composta então para  calcular essa derivada vamos usar a forma da derivada de uma função composta. g(x) é uma função composta do tipo g(x)=uⁿ onde u=x⁶-3x+4 e n=-5 sua derivada é y’=nun-1u’

y=(x⁶-3x+4)-5

y’=-5(x⁶-3x+4)-5-1(x⁶-3x+4)’

y’=-5(x⁶-3x+4)-6 • (6x⁵-3)

C) Calcule a derivada da função y=(8x-x+4)²

Estamos diante de uma função composta então para  calcular essa derivada vamos usar a forma da derivada de uma função composta

y=(8x⁶-x+4)²

y’=2(x⁶-3x+4)2-1(x⁶-3x+4)’

y’=2(x⁶-3x+4) • (6x⁵-3)

y’=(2x⁶-6x+8) • (6x⁵-3)

d) Calcule a derivada da função y=(x³-5x²+2x)

A função y=(x³-5x²+2x) é uma função composta então sua derivada calcularemos aplicando a forma de derivada de funções composta;

y’=4(x³-5x²+2x) ⁴¯¹ (x³-5x²+2x)’

y’=4(x³-5x²+2x)³• (3x²-10x+2)

y’=4(3x²-10x+2)( x³-5x²+2x)³

y’=(12x²-40x+8)( x³-5x²+2x)³

e) Calcule a derivada da função g(x)=(4x³-7x)¯⁵

A função g(x)=(4x³-7x)¯⁵ é uma função composta então sua derivada calcularemos aplicando a forma de derivada de funções composta g(x) é ma função composta do tipo g(x)=uⁿ onde u=4x³-7x e n=-5 sua derivada é y’=nuⁿ¯¹u’

y=(4x³-7x)¯⁵

y’=-5(4x³-7x) ¯⁵¯¹ (4x³-7x)’

y’=-5(4x³-7x) ¯⁶• (12x²-7)

y’=-5(12x²-7) (4x³-7x) ¯⁶

y’=(-60x²+35) (4x³-7x) ¯⁶

Para calcular essa derivada vamos passar “x²+3x” para o numerador, e ao passar ele para o numerador passa a ter um expoente negativo.(clique aqui para ver propriedades de potência )

g(x)=(x²+3x)-1

Agora sim podemos facilmente derivar a função g(x) aplicando a formula da derivada de funções compostas

Vamos aplicar o mesmo procedimento passar o (x²+5x)⁴ para o numerador, e ao passar para o numerador o expoente fica negativo “(x²+5x)-⁴”

Derivada funções irracionais aplicando o conhecimento de derivadas de funções compostas

Com o conhecimento de derivas de funções compostas não precisamos de decorar as derivas de funções irracionais basta só transformar a raiz em potência aplicando as propriedades de potências

Vamos transformar a raiz em uma potência assim poderemos aplicar a forma básica da derivada de funções compostas.

Vamos transformar a raiz em uma potência para podemos derivar facilmente

Para derivas essa função Transformaremos a expressão irracional em uma expressão com potência depois recorrer ao conhecimento derivada de funções compostas;

Veja como derivar usando formula de derivada de funções irracionais

Seguindo o mesmo raciocino vamos transformar a raiz em potência

Agora vamos passar a expressão que esta no denominador para o numerador, e depôs só aplicar a formula da derivada de funções composta

Exercícios para praticar derivadas de funções compostas 

Usado o conhecimento de derivadas de funções compostas calcule a derivadas das funções abaixo.

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