Avançar para o conteúdo
Início » Aulas » Derivada de funções trigonométricas (derivada de senx e cosx)

Derivada de funções trigonométricas (derivada de senx e cosx)

 Derivada de funções trigonométricas

Nas derivadas das funções trigonométricas iremos aprender a:

– Derivada da função seno

– Derivada da função cosseno

– Derivada da função tangente

– Derivada da função co-tangente

–Derivada de funções trigonométricas inversas

–– Derivada da função arcseno

–– Derivada da função arccosseno

–– Derivada da função arctangente

–– Derivada da função arcco-tangente

Derivada da função senx e cosx

Nessa aula aprenderemos a derivar as funções trigonométricas do tipo seno e a função cosseno, veremos como derivar as funções;

Derivada da função senx

Para achar a derivada da função sen(x) vamos usar a definição de derivada usando limite.

Demonstração de derivada de senx

Seno da soma de dois ângulos é

sen(x+h)=sen(x)cos(h)+sen(h) cos(x)

Substituindo isso na nossa derivada temos

Vamos organizar a equação para podermos evidenciar o senx

Vamos colocar o cosseno de x em evidência

Vamos separar a fracção em duas fracções e tirar senx para fora do limite na primeira fracção na segunda tirar o cosx.

Na primeira fracção para podermos calcular o limite vamos multiplicar pelo par conjugado a na segunda vamos ter em conta que em um limite trigonométrico notável e da 1.

Recordando os casos notável

(com(h)-1)(com(h)+1)=cos²(h)-1²= cos²(h)-1=- sen²(h) e subistituindo isso no nosso mite temos;

A Derivada da função senx é a função cosx “

Derivada da função cosx

Tal como fizemos para achar a derivada da função senx iremos usar a definição de derivada para achar a derivada da função cosx

cosseno da soma de dois ângulos é

cos(x+h)=cos(x)cos(h)-sem(h)sen(x)

Substituindo isso na nossa derivada temos

Vamos organizar a equação para podermos evidenciar o senx

Vamos colocar o cosseno de x em evidência

Vamos separar a fracção em duas fracções e tirar cosx para fora do limite na primeira fracção na segunda tirar o cosx.

Na primeira fracção para podermos calcular o limite vamos multiplicar pelo par conjugado a na segunda vamos ter em conta que em um limite trigonométrico notável e da 1.

Recordando os casos notável

(cos(h)–1)(cos(h)+1)=cos² (h)–1²= cos² (h)–1=– sen² (h) e substituindo isso no nosso limite temos;

 ” A derivada da função cosx é a função –senx  “

Derivada de senx e cosx

Derivada de funções trigonométricas compostas

Se tivermos uma função trigonométrica f(x)=sen (u) ou g(x)=cos (u) onde u é uma outra função qualquer que depende de x então ai estamos diante de uma função trigonométrica composta as derivas dessa função devem ser calculadas tendo em conta que são funções compostas, a derivada da função f(x)=sen(u) é a função f’(x)=u’cos(u) e a derivada da função g(x)=cos(u) é a função gʹ(x)=-u’sen(u);

Forma alternativa de demonstrar a derivada da função y=cosx     

Sabendo a derivada de funções trigonométricas podemos derivar a função cosseno conhecendo apenas a derivada da função senx, basta a penas transformai a função cosseno em função seno através da relação trigonométrica cosx=sen(90-x) dai como já conhecemos a derivada da função seno podemos derivar.

ƒ(x)=cosx=sen(90-x)

ƒ ‘(x)=(90-x)’cos(90-x)

ƒ ‘(x)=-cos(90-x)

ƒ ‘(x)=-senx

Exercícios sobre derivadas de funções trigonométricas

a) Calcule a derivada da função y=sen(x²-4x)

Estamos diante de uma função trigonométrica composta f(x)=sen(u) onde de acordo com o que vimos a sua derivada é f’(x)=u’cos(u) onde o nosso u vale x²-4x vamos usar esse conhecimento de derivada trigonométricas composta para derivar

y=sen(x²-4x)

yʹ=(x²-4x)ʹcos(x²-4x)

yʹ=(2x-4)cos(x²-4x)

b) Calcule a derivada da função y=sen(5x)

Para esse exercício y=sen(5x) de derivadas trigonométrica o nosso u vale 5x e vamos derivar usando a formula de derivada de funções trigonométricas  y=sen(u) → yʹ=uʹcos(u) vamos ver a seguir a derivação;

y=sen(5x)

yʹ=(5x)ʹcos(5x)

yʹ=5cos(5x)

c) Calcule a derivada da função y=cos(2x³-1)

Usando a formula de derivada de funções trigonométricos y=cos(u) → yʹ=-uʹsen(u) temos;

y=cos(2x³-1)

yʹ=-(2x³-1)ʹsen(2x³-1)

yʹ=-(6x²-0)sen(2x³-1)

yʹ=-6x²sen(2x³-1)

d) Calcule a derivada da função y=sen(3x²+2x+7)³

Comparando com nossa forma y=cos(u) o nosso u vale (3x²+2x+7)³

 então a derivada é yʹ=-uʹsen(u) seguiremos esse procedimento para derivar;

y=sen(3x²+2x+7)³

yʹ=[(3x²+2x+7)³]ʹcos(3x²+2x+7)³

yʹ=3(3x²+2x+7)² (3x²+2x+7)ʹcos(3x²+2x+7)³

yʹ=3(3x²+2x+7)² (6x+2)cos(3x²+2x+7)³

e) Calcule a derivada da função y=cos[e˟ (x+1)]

Para acharmos a derivada desse função não basta apenas saber a derivada da função trigonométrico é necessário também recordarmos da derivada do produto pois na nossa função temos um produto (no argumento).

y=cos[e˟ (x+1)]

yʹ=-[e˟ (x+1)]ʹsen[e˟ (x+1)]

yʹ=-[(e˟)ʹ (x+1)+ e˟ (x+1)ʹ]sen[e˟ (x+1)]

yʹ=-[e˟ (x+1)+ e˟ ]sen[e˟ (x+1)]

yʹ=-[e˟ (x+1+ 1) ]sen[e˟ (x+1)]

yʹ=-e˟ (x+2 )sen[e˟ (x+1)]

f) Encontre a derivada da função y=sen(cos(x))

A derivada dessa função trigonométrica será a derivada do argumento desse caso derivada da função cos(x) que multiplica cosseno do argumento nesse caso conforme já dissemos cos(x)

y=sen(cos(x))

yʹ=( cos(x))ʹcos(cós(x))

yʹ=-sen(x)cos(cosx)

g) Calcule a derivada da função y=sen(lnx)

Temos uma função trigonométrica onde o argumento é uma função logarítmicas e nos já aprendemos derivada de funções logarítmicas, (clique aqui para ver a aula de derivada de funções logaritmicas)  então será fácil derivar derivada de funções

Nesse caso o argumento da função trigonométrica seno é uma função exponencial (Veja como derivar uma função exponencial Ver)

Para derivar essa função trigonométrica demos conhecer a derivada de um coeficiente pois temos um coeficiente no argumento.

k) Calcule a derivada da função ƒ(x)=cos(e˟)

Com tudo que já aprendemos atem aqui (derivada de função irracional) essa função não nos dará nenhum trabalho para derivar

ƒ(x)=cos(e˟)

ƒ´(x)=- (e˟)ʹsen(e˟)

ƒ´(x)=- e˟sen(e˟)

l) Calcule a derivada da função ; ƒ(x)=(2x–1) sen(x³+2)

Estamos diante de um produto de duas funções então para derivar devemos usar a regra do produto. 

ƒ(x)=(2x–1) sen(x³+2)

ƒ´(x)=(2x–1)ʹ sen(x³+2)+ (2x–1) [sen(x³+2)]ʹ

ƒ´(x)=2sen(x³+2)+ (2x–1) (x³+2)ʹcos(x³+2)

ƒ´(x)=2sen(x³+2)+ (2x–1) 3x²cos(x³+2)

ƒ´(x)=2sen(x³+2)+ (6x³–3x²) cos(x³+2)

m) Ache a derivada da função ƒ(x)= sen³(x²-3x)

Estamos diante de uma função composta do tipo y= uⁿ  a sua derivada é yʹ= nuⁿ¯¹u’  onde a função a função trigonométrica  sen³(x²-3x) é o nosso u , aplicaremos essa forma para derivar 

ƒ(x)= sen³(x²-3x)

ƒ(x)=3 sen²(x²-3x)[ sen(x²-3x)]ʹ

ƒ(x)=3 sen²(x²-3x)[ (x²-3x)ʹ cos(x²-3x)]

ƒ(x)=3 sen²(x²-3x)[ (2x-3) cos(x²-3x)]

ƒ(x)=3 (2x-3) sen²(x²-3x) cos(x²-3x)

ƒ(x)=(6x-9) sen²(x²-3x) cos(x²-3x)

Exercícios para praticar derivadas de funções trigonométricas (derivada de senx e cosx)

Usado o conhecimento de derivadas de função trigonométricas seno e cosseno e outras funções aprendidas anteriormente derive as funções abaixo;


Outras derivadas

Apostila de Cálculos de limites (Ebook de calculo I)

Apostila de cálculo de limite Você sabia que tem um Ebook de cálculo de limites que pode ajudar você a ter um bom desempenho académico na disciplina de cálculo I. Uma apostila feito para você aprender…

Aplicação da primeira e segunda derivada extremos e ponto de infecção

Estudo da primeira derivada Seja uma função f(x) continua Assim temos representado os gráficos de uma função f (x) e sua derivada f ’(x) Notamos claramente que;   ]- ∞, b[ b ]b, d[ d ]d,+ ∞[ f (x…

Calculo aproximado usando derivada

Definição derivada Para percebemos como usar as derivadas para fazer o cálculo aproximado vamos usar o conceito de derivada usando limites; Podemos tirar limite apenas tendo em conta que Δx se aproxim…

Resolução de (Teste I) de Calculo I UNIFEI

1) Calcule caso exista. Se não existir explique o por quê:Primeiro vamos Substituir onde vem x pela tendência que é 1 Temos uma indeterminação do tipo zero sobre zero 0/0 para resolver este limite (pa…

Derivada de uma função exponencial

Para acharmos a derivada de uma função exponencial vamos o usar a definição de derivada usando limites A derivada de uma função y=a˟ é o própria função y’=a˟ •lna caso não tenha in…

Derivada de uma função usando definição

Definição de derivadas Chamamos de derivada da função f(x) no ponto qualquer a inclinação da recta tangente ao gráfico da função f(x) nesse ponto, e representamos por f'(x). O que é uma rect…

Derivada de uma função

Depois de termos aprendendo o conceito de derivada agora é a hora de aprendemos a calcular derivada de funções. Primeiramente aprenderemos como calcular deriva de uma função to tip…

Derivada de funções implícitas

Antes de aprendermos a derivar uma função implícita é necessário saber o que é uma função implícita! Definição de função implícita Uma função implícita é uma função do tipo F(x,y)=…

Derivada de funções paramétricas

Derivada de funções paramétricas Seja  y=f(t) e x=g(t) nesse caso podemos afirmar que x e y estão dadas na forma paramétrica. Como achar a derivada de uma função dada na forma paramétri…

Se preferires podes ver limites

Apostila de Cálculos de limites (Ebook de calculo I)

Apostila de cálculo de limite Você sabia que tem um Ebook de cálculo de limites que pode ajudar você a ter um bom desempenho académico na disciplina de cálculo I. Uma apostila feito para você aprender…

Resolução de (Teste I) de Calculo I UNIFEI

1) Calcule caso exista. Se não existir explique o por quê:Primeiro vamos Substituir onde vem x pela tendência que é 1 Temos uma indeterminação do tipo zero sobre zero 0/0 para resolver este limite (pa…

Exercícios sobre limites e continuidades

No numerador temos uma expressão modular primeiro vamos tirar o módulo. Sabemos que:Como os limites laterais quando x se aproxima de 3 são diferentes então não existe limite Quando x se aproxima de 3 …

Limites indeterminações do tipo zero sobre zero

Limites contendo indeterminações do tipo zero sobre zero são limites em que ao substituir a variável pela sua tende temos uma “expressão” do tipo zero sobre zero (0/0). Como resolver limites cont…

Resolução de exercícios sobre limites trigonométricos

Uma vez que já vimos o limite trigonométrico fundamental a gora e a hora de usar esse conhecimentos juntamente com as propriedades e identidades trigonométricos par a resolução de exercícios trigonomé…

Limites laterais (Limite lateral à esquerda e limite lateral à direita)

Seja dado uma função f(x) cujo o gráfico é representado na figura acima Como achar os limites laterais e o que são limites laterais? Para chegarmos ao ponto da abcissa x=a podemos usar dois camin…

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado.