Integrais por partes
A técnica de Integral por partes é uma técnica usada para simplificar a resolução de exercícios de integrais. O método de integrais por partes nos ajuda a resolução de exercícios de cálculo integral
Como surge a técnica de Integrais por partes
O meto de Integrais por partes surge da derivado do produto, e da necessidade de transformar uma integral complexa em uma outra integral mais simples.
Demonstração da fórmula de integrais por partes
Seja dadas duas função v e u a deriva do produto entre v e u é dada por;
(uv)’=vu’+uv’
d(uv)=vdu+udv
d(uv)=vdu+udv
udv =d(uv)-vdu
∫udv =∫d(uv) – ∫vdu
∫u dv =uv – ∫v du
Resolução de exercícios usando o método de integrais por partes
a) Calcule a seguinte integral; ∫xsen(x)dx
Vamos usar o método de integrar por partes ∫udv =∫d(vu) – ∫vdu onde diremos que u=x e dv=sen(x)dx e vamos achar “du” derivando “u”, e achatemos “v” integrando “dv”.
∫xsen(x)dx
u=x … sen(x)dx=dv
du=dx … – cos(x)= v
∫xsen(x)dx=-xcos(x) + ∫cos(x)dx
=-xcos(x) + sen(x) + c
b) Calcule a seguinte Integral ∫ x4 ln(x2)dx
∫ x4 ln(x2)dx
u=ln(x2) ….. x4dx=dv
du=2x/x2 dx …. x5/5 = v

c) calcule a integral; ∫ ln(x)dx
Recorrendo ao método de integrar por partes onde diremos que u=ln(x) e dv=dx;
u=ln(x) … dx=dv
du=1/x dx …. x= v

d) calcule a integral; ∫ sen(x)ex dx
∫ sen(x)ex dx
Vamos aplicar o método de integrais por partes
u=sen(x) ….. exdx=dv
du=cos(x)dx …. ex= v
∫ sen(x) ex dx= sen(x)ex – ∫ cos(x)ex dx
Para calcular a integral ∫ cos(x)ex dx precisamos de voltar a usar o método de integrais por partes
I=∫ cos(x)ex dx
∫ sen(x) ex = sen(x)ex – I
u=cos(x) ….. exdx = dv
du=-sen(x)dx …. ex = v
I= ∫ cos(x)ex dx =cos(x) ex + ∫ sen(x)ex dx
Vamos substituir essa expressão na nossa integral principal
∫sen(x)ex = sen(x) ex-cos(x) ex – ∫ sen(x)ex dx
Vamos passar ∫ sen(x)ex dx do segundo membro para o primeiro membro
∫ sen(x) ex dx+ ∫sen(x)ex dx = sen(x) ex – cos(x) ex
2•∫ sen(x)ex dx= sen(x) ex – cos(x) ex
∫sen(x)ex dx= ½•(sen(x) ex – cos(x) ex )
∫sen(x)ex dx= ½•(sen(x) ex – cos(x) ex )+c
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