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Integrais por partes (calculo integral usando o método de integrais por partes)

Integrais por partes

A técnica de Integral por partes é uma técnica usada para simplificar a resolução de exercícios de integrais. O método de integrais por partes nos ajuda a resolução de exercícios de cálculo integral

Como surge a técnica de Integrais por partes

O meto de Integrais por partes surge da derivado do produto, e da necessidade de transformar uma integral complexa em uma outra integral mais simples.

Demonstração da fórmula de integrais por partes

Seja dadas duas função v e u a deriva do produto entre v e u é dada por;

(uv)’=vu’+uv’

d(uv)=vdu+udv

d(uv)=vdu+udv

udv =d(uv)-vdu

udv =d(uv) vdu

u dv =uv v du

Resolução de exercícios usando o método de integrais por partes

a) Calcule a seguinte integral; ∫xsen(x)dx

Vamos usar o método de integrar por partes ∫udv =d(vu) vdu onde diremos que u=x e dv=sen(x)dx e vamos achar “du” derivando “u”, e achatemos “v” integrando “dv”.

xsen(x)dx

u=x     … sen(x)dx=dv

du=dx   … – cos(x)= v

xsen(x)dx=-xcos(x) + cos(x)dx

               =-xcos(x) + sen(x) + c

b) Calcule a seguinte Integral ∫ x4 ln(x2)dx

∫ x4 ln(x2)dx

u=ln(x2)     ….. x4dx=dv

du=2x/x2 dx   …. x5/5 = v

c) calcule a integral; ∫ ln(x)dx

Recorrendo ao método de integrar por partes onde diremos que u=ln(x) e dv=dx;

u=ln(x)     … dx=dv

du=1/x dx   …. x= v

d) calcule a integral; ∫ sen(x)ex dx

∫ sen(x)ex dx

Vamos aplicar o método de integrais por partes

u=sen(x)     ….. exdx=dv

du=cos(x)dx   …. ex= v

∫ sen(x) ex dx= sen(x)ex – ∫ cos(x)ex  dx

Para calcular a integral ∫ cos(x)ex  dx precisamos de voltar a usar o método de integrais por partes

I=∫ cos(x)ex  dx

∫ sen(x) ex = sen(x)exI

u=cos(x)     ….. exdx = dv

du=-sen(x)dx   …. ex = v

I= ∫ cos(x)ex  dx =cos(x) ex + ∫ sen(x)ex dx

Vamos substituir essa expressão na nossa integral principal

∫sen(x)ex = sen(x) ex-cos(x) ex – ∫ sen(x)ex dx

Vamos passar ∫ sen(x)ex dx do segundo membro para o primeiro membro

∫ sen(x) ex dx+ ∫sen(x)ex dx = sen(x) ex – cos(x) ex

2•∫ sen(x)ex  dx= sen(x) ex – cos(x) ex

∫sen(x)ex  dx= ½•(sen(x) ex – cos(x) ex )

∫sen(x)ex  dx= ½•(sen(x) ex – cos(x) ex )+c

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