Integral de funções que resulta em uma função logaritmo

Como integral uma função do tipo?

Como forma de introdução e para facilitar a nossa compressão nessa aula primeiro vamos fazer uma breve revisão sobre a formula de integrais de função polinomial.

Já aprendemos a integral usando a formula ;

Com essa fórmula podemos integral funções do tipo;

Agora se n=-1 usando a mesma formula temos;

Nesse caso de n=-1 a nossa fórmula não se aplica

A fórmula para integral uma função do tipo ∫ xⁿ dx tem uma limitação quando o nosso n for -1, pois se o nosso n for -1 no denominador teremos -1+1=0 e conforme sabemos não existes divisão por zero.

Então como Integral uma expropriação do tipo ∫ xⁿ dx quando n for igual a -1

Para integrar esse tipo de função devemos nos recordar da derivada de funções logaritmicas, onde vimos que a derivada de y=ln(x) é y’=1/x , o que quer dizer que;

∫ 1/x dx=ln(x)

Então essa é a fórmula que usaremos para integrar esse tipo de funções

Fórmula de Integral de uma funções que resultam em função logaritmicas

Conforme a demonstração acima a integral da função 1/x tem como resulto uma função logarítmica que é ;

Resolução de exercícios sobre Integral de uma funções que resultam em função logaritmicas

Iremos primeiro tirar o quatro para fora da integral fazendo isso dentro da integral ficamos apenas 1/x e a integral de 1/x vale ln|x|.

Vamos tirar o 3 para fora da integral e depois integral a expressão que fica dentro da integral.

como a derivada de do que esta no denominador é exactamente o que esta no numerar essa integral resulta em “ln” do que esta no denominador.

A derivada de -3x+2 é -3 então vamos colocar -3 no numerador para que a derivada de -3x+2 esteja no numerador e assim a integral resulte em “ln”

Mais exercício sobre calculo integral Integral de uma funções que resulta em função logaritmo

Como nesse caso é possível termos a derivada do denominador no numerador apenas multiplicando por constante. vamos arranjar uma maneira de dermos a derivada de x²+1 no numerador para que a integral resulte em “ln”. A derivada de x²+1 é 2x no numerador já temos x o que falta é apenas multiplicar o x por 2 vamos fazer isso(multiplicar o x por dois e tirar esse dois que colocamos multiplicando por 1/2).

É notório que a derivada de e^x+1 é e^x ,logo essa integral resulta em ln|e^x+1|

A derivada de x²+3x-5 é exactamente o que esta no numerador ,com isso essa integral resulta em ln|x²+3x-5|.

Notamos claramente que a derivada de 2x⁷+5x³ -8x+1 é 14x⁶ +15x²-8 , logo a essa integral é uma integral do tipo ∫ du/u onde o nosso u é 2x⁷+5x³ -8x+1 e o nosso du é (14x⁶ +15x²-8)du, como ∫ du/u=ln|u| a nossa integral é igual a ln|2x⁷+5x³ -8x+1|

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