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Inequações exponenciais

O que são Inequações exponenciais

Inequações exponenciais são inequações onde a variável aparece no expoente, são inequações do tipo;

a)3x+2 <9

b)8x-3 > 32x

c)4x-4x+2+30 ≥ -2

d)22x-5•2x+3 ≥-1

Como resolver de inequações exponenciais

A resolução de inequações exponenciais é feita tendo em conta que a>1 e 0 < a <1.

Resolução de Inequações exponenciais com base menor que 1 (a > 1)

Nesses quando onde a base é maior que 1 (a>1) não alteramos o sinal original da inequação ou seja.

ax>ay

x>y

Resolução de Inequações exponenciais com base menor que 1 e maior que zero (0<a <1)

ax > ay

x<y

“ Quando a base é menor que 1 para resolver a inequação devemos mudar de sentido do sinal de comparação se for > passa a ser < , se for ≤ mudamos para ≥ e vice versa.”

Porque em uma inequação exponencial quando 0 < a <1 invertemos o sentido ?

Sabemos que uma função exponencial do tipo f(x)=ax com 0<a<1 é uma função decrescente, o que quer dizer que quando os valores de x aumenta a função vai tomando valores cada víeis mais pequenos, essa é a razão que nos leva a inverter o sinal quando da inequação exponencial sempre que 0<a<0.

Resolução de exercícios sobre inequações exponenciais

a)2x>4

Iremos primeiramente decompor o 4 em uma potência de babe 2; (4=22)

2x>22

Como temos as mesma base, e é menor que 1 para achar a solução iremos mater o sinal.

x>2

Solução ; x>2

b)27x+1>9x

De forma análoga ao primeiro exercício, para achar a solução dessa inequação exponencial primeiro vamos decompor de modo a termos a mesma base em ambos membros

27x+1>9x

(33)x+1>32x

33x+3>32x

3x+3>2x

3x-2x>-3

x>-3

c)5x>7x

Note; mudamos de sentido porque a base é menor que 1.

Como a base é menor que 1 para resolver a inequação exponencial vamos mudar de sinal e assim temos;

x < 3

Solução; x < 3

Resolução

Note que fazendo a decomposição; 16=24 e 8=23 assim podemos escrever;

Vamos transformai a raiz em potencias, (O índice da raiz vai passar a dividir o expoente do radicando)

Como temos bases iguais vamos trabalhar com os exponentes

4x-16<3x-9

4x-3x<-9+16

x<7

f)4x-4x+2+28≥-2

4x-4x+2+28≥-2

4x-4x •42≥-2-28

4x-4x•16≥-30

4x (1-16)≥-30

4x (-15)≥-30

-4x•15≥-30

4x•15≤30

4x≤30/15

4x≤2

22x≤21

2x<1

x<1/2

h)4x-3•2x+2+30<-2

4x-3•2x+2+30<-2

Vamos decompor 4, (4=22) e aplicar as propriedades de potência para 2x+2, ou seja separa transformar a soma dos expoentes em um produto (2x+2=2x•22), fazendo a substituição na inequação temos;

(22 )x-3•2x •22+30+2<0

22x-12•2x+32<0

Seja 2x=t

t2-12t+32<0

Agora temos uma inequação quadrática, já vimos como resolver a inequações quadráticas nas aulas anteriores. Iremos usar o método trafico para resolver a inequação onde primeiro calcularemos os zeros que são t1=4 e t2=8

Como o valor de “a” é positivo a inequação tem parábola positiva

Queremos onde é menor que zero podemos ver no gráfico que é no intervalo de 4 a 8 ou seja;

t>4 e t<8

Como t=2x vamos substituir os “t” por essa expressão e achar a solução da inequação exponencial

 2x>4   e  2x<8

2x>22   2x<23  

x>2        x<3

A solução da nossa equação exponencial é x>2 e x<3 ou seja;

Sol;  2<x<3


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