lei dos cossenos e lei dos senos

Lei dos cossenos

Seja da um triângulo

A lei dos cossenos relaciona os lados desse triângulo e os ângulos de tal modo que com dois lados e o ângulo oposto ao lado desejado seja possível determinar a medida de outro lados , ou conhecer os outros ângulos internos.

Formula da Lei dos cossenos no triângulo

• a²=b²+c²-2•b•c•cosA
• b²=a²+c²-2•a•c•cosB
• c²=a²+b²-2•a•b•cosC

Demostracao

Aplicando o teorema de Pitágoras vamos calcular a altura em função dos dois triângulos o triângulo da lado esquerdo e o triângulo do lado direito.

Para o triangulo da lado esquerdo

h²=a²-(c-b•cosA)²

para o triângulo da lado direito

h²=b²-(b•cosA)²

igualando as duas expressões de altura ao quadrado

a²-(c-b•cosA)²=b²-(b•cosA)²

a²=b²-(b•cosA)²+(c-b•cosA)²

a²=b²-b²cos²A+c²-2•b•c•cosA+b²cos²A

a²=b²+c²-2•b•ccosA

AS outras duas forma de co-seno são demonstradas de forma análogo.

Lei dos senos

Seja da um triângulo

A lei dos senos relaciona os lados desse triângulo e os ângulos. a lei dos senos diz que a razão entre os lados de um triângulo e o seu ângulo oposto é igual a razão entre o outro lado e o seno ângulo oposto. ou seja a razão entre o lado “a” e o sendo do ângulo “A” é igual a a razão entre o lado “b” e o seno do ângulo “B” será também igual é igual a razão entre o lado “c” e o seno do ângulo “C”.

Formula da Lei dos senos no triângulo

A formula da lei dos senos pode ser escrita matematicamente como sendo;

1.calcule a mede do lado C

Para calcular a medida do lado c vamos usar a lei dos cosenos

a=3

b=8

C=120˚

c=?

c²=a²+b²-2•a•b•cosC

c²=3²+8²-2•3•8•cos120˚

c²=9+64-2•3•8•(-0,5)

c²=9+64+24

c²=97

c=√97

2. Seja dado o triângulo ABC representado na figura abaixo, calcule a medida do lado AC aplicando as formulas da lei dos cossenos

Para calcular a medida do lado c vamos usar a lei dos cosenos

c=AB=9

b=√66

C=60˚

a=?

c²=a²+b²-2•a•b•cosC

9²=a²+(√66)²-2•a•(√66)•cos60˚

81=a²+66-a√66

81=a²+66-a√66

a²–a√66-15=0

a=9,67 ou a=-1,55

como “a’ representa lado o seu valor deve ser positivo portanto a=9,67

1.Calculo a valor do lado x para o triângulo desenhado na figura abaixo.

Para determinar o lado X , uma vez que temos o ângulo oposto a X e o outro ângulo e o lago oposto a esse ângulo vamos usar a formula da lei dos senos

2.Para o triângulo ABC determine o valor do lado BC

De forma análoga ao exercício anterior iremos usar a formula da lei dos senos para apara determinar a medida do lado BC

Aprenda mais sobre trigonometria

*Função trigonométrica co-tangente y=tan(x)

*Função trigonométrica seno y=sen(x)

*Função trigonométrica cosseno y=cos(x)

*Trigonometria no triângulo rectângulo

*Teorema de Pitágoras

*Ângulos Especiais

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*Derivada de função trigonométrica tangente