Lei dos cossenos
Seja da um triângulo
A lei dos cossenos relaciona os lados desse triângulo e os ângulos de tal modo que com dois lados e o ângulo oposto ao lado desejado seja possível determinar a medida de outro lados , ou conhecer os outros ângulos internos.
Formula da Lei dos cossenos no triângulo
- a2=b2+c2-2•b•c•cosA
- b2=a2+c2-2•a•c•cosB
- c2=a2+b2-2•a•b•cosC
Demostracao
Aplicando o teorema de Pitágoras vamos calcular a altura em função dos dois triângulos o triângulo da lado esquerdo e o triângulo do lado direito.
Para o triangulo da lado esquerdo
h2=a2-(c-b•cosA)2
para o triângulo da lado direito
h2=b2-(b•cosA)2
igualando as duas expressões de altura ao quadrado
a2-(c-b•cosA)2=b2-(b•cosA)2
a2=b2-(b•cosA)2+(c-b•cosA)2
a2=b2-b2cos2A+c2-2•b•c•cosA+b2cos2A
a2=b2+c2-2•b•ccosA
AS outras duas forma de co-seno são demonstradas de forma análogo.
Lei dos senos
Seja da um triângulo
A lei dos senos relaciona os lados desse triângulo e os ângulos. a lei dos senos diz que a razão entre os lados de um triângulo e o seu ângulo oposto é igual a razão entre o outro lado e o seno ângulo oposto. ou seja a razão entre o lado “a” e o sendo do ângulo “A” é igual a a razão entre o lado “b” e o seno do ângulo “B” será também igual é igual a razão entre o lado “c” e o seno do ângulo “C”.
Formula da Lei dos senos no triângulo
A formula da lei dos senos pode ser escrita matematicamente como sendo;
1.calcule a mede do lado C
Para calcular a medida do lado c vamos usar a lei dos cosenos
a=3
b=8
C=120˚
c=?
c2=a2+b2-2•a•b•cosC
c2=32+82-2•3•8•cos120˚
c2=9+64-2•3•8•(-0,5)
c2=9+64+24
c2=97
c=√97
2. Seja dado o triângulo ABC representado na figura abaixo, calcule a medida do lado AC aplicando as formulas da lei dos cossenos
Para calcular a medida do lado c vamos usar a lei dos cosenos
c=AB=9
b=√66
C=60˚
a=?
c2=a2+b2-2•a•b•cosC
92=a2+(√66)2-2•a•(√66)•cos60˚
81=a2+66-a√66
81=a2+66-a√66
a2–a√66-15=0
a=9,67 ou a=-1,55
como “a’ representa lado o seu valor deve ser positivo portanto a=9,67
1.Calculo a valor do lado x para o triângulo desenhado na figura abaixo.
Para determinar o lado X , uma vez que temos o ângulo oposto a X e o outro ângulo e o lago oposto a esse ângulo vamos usar a formula da lei dos senos
2.Para o triângulo ABC determine o valor do lado BC
De forma análoga ao exercício anterior iremos usar a formula da lei dos senos para apara determinar a medida do lado BC
Aprenda mais sobre trigonometria
*Função trigonométrica co-tangente y=tan(x)
*Função trigonométrica seno y=sen(x)
*Função trigonométrica cosseno y=cos(x)